这是一道关于导数极限的高数证明题。证明函数在趋于无穷大时,若函数的极限和导数的极限都存在,那么导数的极限就一定等于0. 事实上,其内涵是,趋于正无穷大单调递增的上凸函数,若极限存在,则导数的极限等于0;趋于正无穷大的单调递减下凸函数,若极限存在,则导数极限等于0. 趋于负无穷大时,单调性相反。 下面老黄要用三种证明方法来证明这个定理,每一种方法都是越来越复杂的,但后面复杂的证明方法涉及到的知识更贴近高数极限的本质。 证明:设f在(a,+∞)可导,若lim( x→+∞)f’(x), lim( x→+∞)f(x)都存在, 则(lim)( x→+∞)f’(x)=0. 证1:记lim( x→+∞)f’(x)=B, lim( x→+∞)f(x)=A. 则 B=lim( x→+∞) lim( h→0) (f(x+h)-f(x))/h 【运用了导函数的定义极限公式】 =lim(h→0) lim( x→+∞) (f(x+h)-f(x))/h=0, 得证!【交换了极限的次序。因为两个极限都存在,所以可以交换极限的次序】 证2:任取[x,x+1]⊂(a,+∞), 由拉格朗日中值定理知, 存在一点ξ∈(x,x+1), 使得f’(ξ)=f(x+1)-f(x), 当x→+∞时, ξ→+∞, x+1→+∞, lim(ξ →+∞)f’(ξ)=lim(x→+∞)f(x)-lim(x+1→+∞)f(x+1)=0. 【改变自变量的符号,并不改变极限的本质】 证3:由柯西收敛法则知:对∀ε>0,总存在正数M>a, 使对∀x1,x2>M时,有|f(x1)-f(x2)|<ε/2, |f’(x1)-f’(x2)|<ε/2,【因为f(x)和f'(x)都收敛】 当x>M时,由拉格朗日中值定理知: 存在ξ∈(x,x+1)使f(x+1)-f(x)=f’(ξ), 又|f’(ξ)|=|f(x+1)-f(x)|<ε/2, |f’(ξ)-f’(x)|<ε/2, 从而 |f’(x)|≤|f’(ξ)-f’(x)|+|f’(ξ)|<ε, ∴lim( x→+∞)f’(x)=0. 【运用了极限最原始的定义】 同理可证x→-∞时,命题也成立. 也可以对任意符合定理的函数补充负区间的定义,使之成为一个偶函数,由偶函数的性质,就可以知道x→-∞时,命题也成立. 这三种证法,有两种是老黄自创的,只有一种是教材上介绍的。你能猜到哪两种证法是老黄独创的吗? |
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