 摘要：学生在口算整百整十数除以一位数口算时，仅仅是机械的套用法则，对算理缺乏理解。通过课前调查与分析，将本课重点放在联系算理与算法上，进一步理解口算法则的合理性上。通过对课本以及课堂观察与分析，印证了分小棒的操作和基于算力理解进行算法解释的教学效果，让学生体验由直观算理到抽象算法的过渡和演变过程，从而到达对算理的深层理解和对算法的切实把握。关键词：算理直观 计数单位 计数单位的个数 数与运算的意义 小学数学教学一直将数的运算作为主要内容，并且注重运算能力的培养。但是长期以来，部分人对运算能力的理解并不全面，仅仅将运算能力等同于运算技能，只是要求学生算的又快有对，忽视了引导学生对算理的理解、对数学本质的理解，导致学生只会死记硬背计算法则，不理解背后的道理，只知其然不知其所以然。还有另一个现象是教师重视让学生探索如何计算，并在此基础上帮助学生理解算理，但是往往忽视了另一个重要的过程——计算法则的形成与形内化。曾经有部分教师对于计算教学只要让学生把法则背诵下来，再大量反复练习就能够达到又对又快，似乎没有必要花时间研究法则背后的道理。那么算理是否重要？算理又是什么？我们在教材和教学中如何帮助学生理解算理呢？一、算理直观的实现 首先我们要明确算理是四则运算的理论依据，它是由数学概念、运算定律、运算性质等构成的；运算法则是四则运算的基本程序和方法。运算是基于法则进行的，而法则又要满足一定的道理。所以，算理为法则提供了理论依据，法则又使算理可操作化。由此不难看出，教学中既要重视法则的教学，还要使学生理解法则背后的道理。 在执教三年级整百整十除以一位数的口算时，学生这样的错误引发了我的思考。“100÷5=200，2000÷4=5000”这样的错误难道只是马虎吗？为此我对出现错误的同学进行了追问。 师：“你是怎样计算的？” 生1：“先用10÷5=2，再添上末尾的两个0.” 生2：“先用20÷4=5，再添上末尾的三个0” 师：“为什么要先去掉0再添上0呢？” 生：“因为这样好算......” 通过对学生的追问我发现学生仅仅是在机械的套用计算法则，而对法则背后的道理却一无所知，也就造成了貌似是马虎才会犯的错误。在信息技术如此发达的今天，我们还需要大量的练习运算速度和做复杂的运算吗？其实基本的运算技能是必须的，但是基本的标准是什么呢？我们又将如何理解运算能力这个概念呢？带着这样的疑问我翻阅了课标以及教材，除法口算属于数与代数领域中数的运算的内容，主要提升学生的运算能力。那么在课标里对运算能力的解读中有这样一句话，学生算法多样化背后是对位值、运算定律、计数单位和计数单位个数等算理的理解和应用。那么在教材除法口算一课中又是如何体现计数单位和计数单位个数的呢？  通过对教材的分析我发现在三年级乘法与除法第一单元中，都借助了小棒图说明口算的算理。一捆小棒表示计数单位“十”，有几捆小棒就表示计数单位的个数是几。原来书上是用小棒图的方式实现了算理直观，那么后面所学的小数和分数的乘除法也是采用直观图的方式实现算理直观吗？我翻阅了五年级以及六年级的教材。  在五年级小数乘法与除法第一课时中，借助的是格子图表示计数单位0.1. 在六年级分数乘法与除法一课中，也同样是利用格子图表示计数单位1/10.通过对教材的分析我发现直观模型是帮助学生理解算理的重要方式，但是这种方式往往也是我们在口算教学过程中所忽视的，所以本节课要利用小棒模型来帮助学生理解计数单位与计数单位的个数等概念，实现算理直观。 二、“桥梁”的构建 北京教科院张丹老师曾说过：“在算理直观与算法抽象之间应该建构一架桥梁，让学生在充分体验中逐步完成'动作思维——形象思维——抽象思维’的发展过程。”那么这座桥梁的建构不仅是学生迈过思维节点的阶梯也是本节课教学设计的核心。 所以在进行本节课的教学设计时充分利用小棒模型，充分帮助学生理解口算算理。 【教学片段1】对口算算理的直观感知 师：12÷3等于多少？你能利用手中的小棒摆一摆并说一说12÷3表示什么意思吗？ 生：表示把12个一平均分成3份，每份是4个一。 师：那么老师把小棒增加到120根，利用手中的小棒再摆一摆120÷3等于多少？谁能说一说你是怎样摆的？
我将120根小棒平均分成3份，每份有40根小棒。 师：通过摆小棒的过程，我们将120看成了多少呢？ 生1：我将120看成了12个十。 师：你真棒，那么120÷3就是把12个十平均分成3份，每份是4个十。那么我再将小棒增加到1200根，1200÷3等于多少呢？你可以动笔画画去寻找答案。
生3：我们把1200根小棒平均分成3份，每份有400根小棒。 师：你画的非常棒，我们仔细观察一下他们的作品，其实我们在画1200根小棒时，都不约而同的把1200看成了多少？ 生3：将1200看成了12个一百。 师：是的，那么1200÷3也就是将12个一百平均分成3份，每份是4个一百。 其实学生对于计数单位和计数单位的个数概念可能有些模糊，但是在摆小棒的过程中，会不约而同的将计数单位与计数单位个数显现出来。这时教师要做的就是让学生意识到我们其实已经在用这个概念本身了。本环节的设计重点是让学生在学具操作与动手画图的直观刺激下，通过数形结合的方式，让学生将计数单位和计数单位的个数自然的抽象出来，更有利于学生理解计数单位与计数单位的个数的含义。 【教学片段2】对算法的逐步抽象 通过摆小棒和画图等活动，让学生观察板书上总结的三句话： 12个一，平均分成3份，每份是4个一。 12个十，平均分成3份，每份是4个十。 12个百，平均分成3份，每份是4个百。 师：你能对比这三句话有什么相同点与不同点吗？ 生1：相同的地方是每句话里都含有12、3、4. 师：你说的非常对，那我们想一想，这里的12、3、4都代表什么呢？ 生1：这里的12和4表示的是计数单位的个数，3是份数。 生2：不同的地方是一、十、百，每句话中的计数单位不同。 师：你总结的很到位，每句话的计数单位的个数是相同的，而计数单位不同。这三句话其实都是将12个几平均分成3份，每份是4个几，我们平均分的其实是计数单位的个数。 本环节实质是让学生在发现相同与不同的过程中，将对算理的理解逐步过渡到对算法抽象的过程。我们在对小棒进行平均分时，实质是在分计数单位的个数，这也是为什么我们要在口算时去掉被除数末尾“0”的原因。通过这一环节，学生会对算法有更进一步的理解与感受。 【教学片段3】算理与算法的有效沟通 师：现在你能说说你在计算整十整百数除以一位数口算时，你是怎样算的吗？ 生：先去掉末尾的“0”，然后利用乘法口诀计算，最后在商的末尾添“0”。 师：我相信咱们对这三个步骤都非常熟悉，那你们能思考一下我们为啥要先去掉“0”再添上“0”呢？去“0”与添“0”背后的道理是什么呢？ 生：去“0”实质是在寻找计数单位的个数，添“0”实质取决于计数单位。 师：你总结的非常好，通过之前的活动我们知道计算整十整百除以一位数时，我们平均分的是计数单位的个数，所以去掉被除数末尾的“0”就是在寻找计数单位的个数是多少。当计数单位是“十”时添一个0，计数单位是“百”时，添两个0，计数单位是“千”时，添三个0. 这一过程需建立在学生对计数单位以及计数单位个数这两个概念有充分的认知基础上进行算理与算法间的勾连，让学生更明确为什么要去“0”以及再添“0”，在此过程中进一步理解算理，同时对计算方法进行内化。小学生学习计算内容，其目的不仅是为了掌握相关的计算方法，形成相应的计算内容，更重要的是为了经历相关计算方法的探索过程，在掌握“怎样算”的同时理解“为什么要这样算”，发展初步的推理能力。 总之，几十几百除以一位数的口算看似简单，但其算理与分数、小数的乘 除法是相通的。学生看似马虎出现的错误，其实就是学生对数的意义和运算的意义理解上出现的问题。因此一方面教师要加强对于数的意义和运算理解的教学；另一方面，当学生计算出现困难或错误时，要注意学生是否理解相应数和运算的意义。在学生理解算理后并不要急于进行算法的抽象，进行机械的计算练习，要充分的让学生体验由直观算理到抽象算法的过度和演变过程，从而到达对算理的深层理解和对算法的切实把握。 |
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