【原】“一题精讲”(十六):巧用锐角三角比

本题的背景是两块直角三角板重合的问题，其中有许多30°角和60°角。对于求CD的长度，实际上需要构造直角三角形，通过解直角三角形进行达成。首先，我们需要分析问题背景中的组合图形：

通过构造含边CD的直角三角形，共有以下几种方法：

以上的三种方法都是通过构造直角三角形，利用特殊角的锐角三角比和勾股定理进行达成的，如何添加合理添加辅助线，利用锐角三角比是至关重要的。

本题的背景是矩形，主要考察了锐角三角比的求法、面积比和等腰三角形的存在性问题。本题的难点和解决要点在于发现图形中的等角，并且利用“等角的三角比相等”进行问题的转化。

本题的第一问就涉及到第一次角的转化，由于∠ADF所在的直角三角形的三边都是未知的，同时构造直角三角形求解又有不小的难度，因此寻找与∠ADF相等的角是问题解决的关键，由于图中有着较多的直角，因此，将∠ADF转化为∠BAE即可。

本题的第二问出现了▲ABE、▲ADF和四边形DFEC的面积比。可以观察到▲ABE和▲ADF是相似的，并且面积比的平方为(AE:AD)的平方，因此如何用含x的代数式表示AD就成了问题解决的关键。利用▲ABE和矩形的面积比为BE:BC，因此可以用含x的代数式表示BC的长度。

本题的第三问是等腰三角形的存在性问题，由于图中没有与▲CDF相似的三角形，因此只能通过分类讨论的方式进行。借助∠FDC=∠AEB，利用“等角的三角比相等”解决问题，同时利用“等腰三角形的三线合一定理”进行辅助线的添加。

解法分析：第3问的背景条件是▲DBH是等腰三角形，即利用分类讨论确定三种情况。由题意得，▲ADF与▲BFG相似，继而得▲ABF与▲DFG相似，即确定了∠BDH=∠BAC，而∠BAC的锐角三角比(345的三角形)是可解的，因此通过转化可知，▲DBH的三个锐角的三角比也是确定的。根据∠ADB=∠DBH，只要能够确定tan∠DBH，就可以在Rt▲ADB中，利用tan∠ADB求出AD的值.

模型1：顶角(底角)为37°的等腰三角形

模型2：顶角(底角)为53°的等腰三角形

25-3具体解法：根据▲BDH为等腰三角形进行分类讨论，第3问的等腰▲的特点是含53°的等腰三角形，对照模型2，找到对应的角，进行代入计算即可。

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