【原】新教材里潜在的高考题系列15：三角泰勒展开

新教材好文系列继续，今天说一说教材里的三角泰勒展开.

你是不是有些惊讶？

新教材里的确有！

人教A版新教材必修1第256页，拓广探索的第26题，给出了正弦和余弦的泰勒展开式：

按照“拿了鸡毛就是令箭”的命题思路，出题人在这里就可以奉旨出题、打擦边球了.

不过，这个公式好记.

我在《新教材里潜在的高考题系列13：双曲正余弦函数》里写过双曲正弦、双曲余弦的泰勒展开式.

对比一下，就发现：

1.正弦和双曲正弦的泰勒展开，都是奇数次除以奇数的阶乘，然后累加在一起.

正弦是正负号交替的，双曲正弦全正号.

2.余弦和双曲余弦的泰勒展开，都是偶数次除以偶数的阶乘，然后累加在一起.

余弦是正负号交替的，双曲余弦全正号.

工整而相似的结构，特别适合对比记忆.

新高考会怎么考察呢？

1

比较大小和估值

最近几年，比较大小的题目越来越难.

比如2022年新高考1卷的第7题，是事实上选择题的压轴题（比第8题难）.

有网红老师，用泰勒展开硬算了.

太卷了，有没有？

请大家注意，新教材里并没有给出lnx和e^x的泰勒展开.

也就是说，在教材编写人看来，指对函数没有给出泰勒展开的必要，构造函数即可.

但是新教材却给出了正余弦的泰勒展开，这是一个明显的信号.

往未来看，如果比较大小的题目难度进一步加深，会拓展到三角函数，到时候用泰勒展开估计三角函数值，就是再正常不过的事情了.

喔，不用将来了.

今年老高考的甲卷12题，就考到了.

2

化生为熟：用多项式函数拟合三角函数

用多项式函数拟合三角函数，其实和上面说的是一个意思.

只不过前面是用在小题的比较大小方面，这里是用在大题中，把陌生的三角函数，转化为我们熟悉的多项式函数.

比如下面这道题：

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