2022鄂州中考数学压轴题分析3：抛物线的几何特征与黄金分割比

本题选自2022年鄂州中考数学函数压轴题，以二次函数为背景，考查抛物线的定义。该问题实际为高中圆锥曲线的内容，但在人教版九年级上册二次函数的阅读材料中考有介绍。具体大家看下面的内容。

抛物线的几何特征解决几何最值问题

中考数学压轴题分析：抛物线的几何特征解最值问题1

中考数学压轴题分析：抛物线的几何特征解最值问题2

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【题目】

（2022·鄂州）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点到定点的距离，始终等于它到定直线的距离（该结论不需要证明），他们称：定点为图象的焦点，定直线为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．其中原点为的中点，．

例如：抛物线，其焦点坐标为，准线方程为．其中，．
【基础训练】
（1）请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线的方程：　　，　　．
【技能训练】
（2）如图2所示，已知抛物线上一点到准线的距离为6，求点的坐标；

【能力提升】
（3）如图3所示，已知过抛物线的焦点的直线依次交抛物线及准线于点、、．若，，求的值；

【拓展升华】
（4）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点将一条线段分为两段和，使得其中较长一段是全线段与另一段的比例中项，即满足：．后人把这个数称为“黄金分割”数，把点称为线段的黄金分割点．
如图4所示，抛物线的焦点，准线与轴交于点，为线段的黄金分割点，点为轴左侧的抛物线上一点．当时，请直接写出的面积值．

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【分析】

（1）根据题意，代入y=ax²的焦点坐标公式与准线公式，可以得到结论。因为a=2，那么可以得到焦点的坐标为（0,1/8），准线的方程为y=-1/8。

（2）由于y=1/8x²，所以可以得到准线的方程为y=-2，那么由于点P到准线的距离为6，所以可以得到其纵坐标为4。那么就可以代入进去求解。

当y=4时，4=1/8x²，解得x=±4√2。

所以点P的坐标为（4√2，4）或（-4√2，4）。

（3）本题的条件为AF=4，FC=2BF，那么就需要利用前文提到的结论。

如上图，通过分别过点A，B作直线l的垂线，可以得到AD=AF=4，BC=2BF=2BG，那么就可以得到Rt△BCG的三边比例关系，以及∠BCG=30°。

那么进一步可以得到AD=1/2AC，也就是说AF=CF=4。那么就可以得到FH=2了，进而得到OF=OH=1，由于点F的坐标可以表示为（0，1/4a），那么可以得到a=1/4。

本题的关键主要还是利用了抛物线的定义，也就是准线与焦点的性质进行求解。

（4）题目已知MH=√2MF，可以发点点M与点F其实纵坐标都相等，也就是等于1，点M的坐标为（-2，1）。这个只需设点坐标代入求解即可。由于点E是FH的黄金分割点，并没有说明点E靠近哪个点，所以会有两种情况。

由于为线段的黄金分割点，
那么可以得到或，
当时，

那么，
当时，，
的面积是或。

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【总结】

本题其实难度不大，主要是阅读量比较大。遇到此类题目，主要还是需要仔细阅读。

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