广义相对论起步（四）——引力场中的时间与空间

金苹果6 2022-11-05 发布于北京

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前言

相信很多人都听过“双生子佯谬”，它讲的是有一对年轻的双胞胎兄弟，哥哥乘坐飞船去宇宙空间高速遨游几年后回到地球，却看到一个已经是耄耋老人的弟弟。

对于完全不知道相对论的人，他们会认为这是异想天开，他们依赖经验会认为两个人的衰老速度应该是一样的。稍微对相对论有所认识的人，会认为事实应该就是这样的，因为速度快了时间就慢了。而对相对论有一定思考的人，可能会陷入一种矛盾，理由是：运动是相对的，哥哥相对于弟弟在做高速运动的同时，弟弟相对于哥哥也在做高速运动，那么弟弟应该也会看到加速衰老的哥哥才对。两人见面后互相看到对方变老而自己保持年轻？这显然是不可能的。实际情况只能是一个，那就是的确当哥哥回到地球后，弟弟会明显老于哥哥。这主要是因为兄弟两人所处的参照系并不对等。弟弟一直处于惯性系中，而哥哥涉及到自身的加速和减速，在一段时间内他处于非惯性系中。正是因为这种不对等，导致了两个人有着不一样的时间。

本文将从最基本的相对性原理和光速不变公设出发，通过严密的逻辑推理和演绎，最终得出关于加速参照系的一些反直觉的性质，为后续向广义相对论的进一步迈进做铺垫。

第一部分 狭义相对论时空观

1.1 基础原理

狭义相对论的两大基石是“相对性原理”和“光速不变原理”。

相对性原理由伽利略最早提出，它要求任何的物理定律在任意一个惯性系中都拥有一样的表现形式，所有惯性系都是平权的。比如说有两个做相对运动的人甲和乙，在甲看来乙以速率v运动，那么在乙看来甲没有道理不以速率v运动（比如以1.2v或者0.9v运动），因为两个惯性系的地位一样，不存在我看你小，你看我大的情况，否则会出现逻辑混乱。长度、时间也是一样的，将同一根标尺或同一个时钟从这个惯性系挪动到另一个惯性系中后，标尺的长度和时钟的嘀嗒频率都不会发生变化。

光速不变原理要求对于任何观察者而言，真空中的光都具有恒定的速度，而不依赖光源和观察者之间的相对运动状态。对光速所作的这一假设其实是抛弃了“以太”理论，即否定了电磁震荡需要依赖以太这种介质来传导。我们都知道声波传递依赖介质，它本质是介质的力学性质的体现。与介质相对静止的观察者测得的声速，跟与介质有相对运动的观察者测得的声速显然不一致。所以，如果确实存在以太，那么观察者测得的光速应该与观察者同以太之间的相对运动速度有关。然而实验结果却发现光速不依赖光源和观察者之间的相对运动状态，这也使得以太论的地位受到了极大的撼动。爱因斯坦在经过深入思考后果断抛弃了以太理论并提出光速不变这一公设。

在这里还需要简单提一提“同时”的概念。所谓“同时”，需要思考的是空间中不同位置发生的事件的同时性（空间中同一位置发生的若干个事件的同时性的意义是明确的）。在日常生活中，“同时”是被使用的高频词汇，然而如果去问身边的人到底什么是“同时（空间中不同位置）”，相信绝大多数人无法给出严谨的答案。

对“同时”进行定义需要使用某种特殊的速度。如果宇宙中存在一个最高速度，那么很容易推理得出这个速度一定不以参照系的选取而变，因为如果存在不同参照系之间的“速度叠加”，那就会出现比这个最高速度更快的速度。而为了跳出定义“同时”时存在的逻辑死循环，时空也需要有这么一个速度，它将在其中扮演至关重要的角色。当然，现在我们都知道，这个最高速度就是真空中的光速c，正所谓“光速不变原理”。

如果在真空中的不同位置分别发生了两个事件，在事件发生的同时该点会发射出一个球形光波，那么如果在两个点连线的中点处的观察者同时接收到这两个光波，那么就可以认为两个事件是“同时”发生的。

这就是相对论所需要的对“同时” 的定义，而对空间中不同位置的时钟进行同时性校准，也依赖真空中的光信号。

1.2 时空关系的推导

可以构建多种运动模型来推导狭义相对论的时空关系，文章^[1]展示了一种，这里再展示另一种，当然两者之间并没有本质的区别。

在真空环境中有两个完全一样的三维笛卡尔直角坐标系k和k’，初始状态下他们的三根坐标轴完全重合。现在让k’系沿着x轴的正方向开始做加速运动，当两个坐标系之间的相对速度为v时k’系停止加速。基于对称性，没有理由认为这两个坐标系的同向的轴之间不是平行或重合的。

在k系中的某一时刻t₁，k系中的点x₁和x₂分别同k’系中的x₁’和x₂’重合。与此同时，有一束光从x₁’处发出，沿着x’轴正方向射向了k’系中的点x₂’（x₂’>x₁’），在t₂时刻光到达x₂’，此时与x₂’重合的点是x₃；随后光被反射回来，在t₃时刻回到点x₁’处，此时与x₁’重合的点是x₄。具体的过程可见图1.1。

图1.1 k系中光信号运动示意图

同样是上述过程，在k’系中，光从x₁’发出的时刻是t₁’，光到达x₂’的时刻是t₂’，光返回x₁’的时刻是t₃’。为了保证空间的均匀性，k’系中的x₂’-x₁’这一段量杆的长度，在k系中看来应当是始终不变的。

在k系中，光从x₁’发出到x₂’的时间间隔Δt₂₁，和光从x₂’反射回到x₁’的时间间隔Δt₃₂分别如下：

x₃与x₁之间的距离即为光速c乘以Δt₂₁：

当光返回到点x₁’时，点x₁’与x₁之间的距离为：

现在将视角切换到k’系。因为光速不变原理，在k’系中的观察者看来，光从x₁’射到x₂’所花的时间，同光从x₂’反射回到x₁’所花的时间相同。而光到x₂’时x₃也恰好与x₂’相遇，光返回到x₁’时x₄恰好与x₁’相遇。即在k’系看来，若从光由x₁’发出开始计，那么x₄与x₁’相遇所花的时间是x₃与x₂’相遇所花时间的两倍，如图1.2所示。

图1.2 k’系中光信号运动示意图

由此即可列出如下方程：

式中：l₁’表示在k’系中在t₁’时刻量得的x₃与x₁之间的距离；l₂’表示在k’系中在t₁’时刻量得的x₄与x₁之间的距离；

在大多数人的基于生活经验的感觉中，应该是：

即无论物体运动或静止，看到的它的尺寸都不会发生改变。那么不妨顺着这条生活经验继续推导下去，将（1-2）、（1-3）和（1-5）代入方程（1-4）得：

发现当v不为0时，该关系式恒不成立。纵观整个计算过程，唯一症结点就在于关系式（1-5）。在伽利略时空变换下，光速可变而量杆长度不变，两者是相容的，故而可以推测，在光速不变时，量杆长度要变，此时基于惯性系之间的平权性，可以对关系式（1-5）做修改：

λ的意义是：当速度方向与量杆长度方向平行时，量杆运动时的“长度”与其静止时的长度间的比值。基于对称性和时空均匀性，λ应是关于v的偶函数，且与坐标值无关。

将关系式（1-6）代入方程（1-4）得：

当v等于0时两坐标相对静止，此时根据场景条件应有x₂’-x₁’=x₂-x₁，所以若λ为关于v的连续函数，则应舍去不合理的负值，即：

λ说明了当量杆运动起来后它的“长度”会变短，这就是“尺缩”效应。λ对于后续的推导至关重要。

依旧将视角放在k’系中。基于收缩因子λ，可知在光刚要从x₁’发出时，x₂在k’系中对应的坐标位置为：

这说明了在光刚从x₁’发出时，x₂位于x₁’和x₂’之间，即在更早些的时候x₂和x₂’就已经相遇过了（可参看图1.2），它们相遇的时刻t₀’为：

所以：

方程（1-8）说明了：在k系中看来是同时发生的事件，在k’系中看来并不同时：而是沿着速度方向更靠前的空间位置上的事件先发生。

接下来进一步分析下时间的相对性问题。如图1.3所示，在k系中，点x₁’从x₁运动到x₂所花时间为：

在k’系中观察者看上述过程的话，是点x₂沿着x’轴的负方向运动，直到与点x₁’相遇。基于收缩因子λ，可算得这个过程所花时间为：

基于（1-9）和（1-10）两个时间差关系可知：运动时钟指针走的速度会变慢，这就是“钟慢”效应。

图1.3 相对运动过程

1.3 时空坐标变换的推导

现设定k系和k’系的原点重合时为各自的时间0点。那么基于图1.4所示，空间坐标的转换关系如下：

图1.4 横轴方向的空间坐标转换关系

在k系中的t时刻，k’系的原点O’的时刻由方程（1-10）得出：

x₁’处的时间比原点O’处的早，由方程（1-8）可计算。综合可得x₁’处的时刻为：

如果有一束光在x₁和x₁’相遇的t₁’时刻，从x₁’沿着y’轴的正方向射出，在t₂’时刻光到达y₁’，然后被原路反射回来，在t₃’时刻回到x₁’。在k系看来，光在t₁时刻发出，在t₂时刻到达点y₁，然后被反射，在t₃时刻到了x₂处，此时x₁’和x₂相遇。需要注意的是，在k系看来，光走的是“斜线”。整个过程如图1.5所示。

图1.5 纵向传播的光

现在分别对两个参照系进行计算。在k’系中，

根据方程（1-10）可知，k’中的这段时间，在k系中看来是：

光在k系中走的路线是一个等腰三角形，对其列出方程：

联立方程（1-13）~（1-15）可得：

当v等于0时两坐标相对静止，此时根据场景条件应有y’=y。若系数为关于v的连续函数，则应舍去不合理的负值，所以：

回到起初对于坐标轴平行的假定，在k系看来，如果k’系的y’轴不与y轴平行，那么上述光线的轨迹就不再是等腰三角形，这意味着，光在被反射前的在x轴方向的分速度与光在被反射后不一样，而这不符合对称性，毕竟y轴和z轴的方向在那个平面内可任意变动。

同理，可得：

综合方程（1-11）、（1-12）、（1-16）和（1-17）可得，若在k系中，某事件发生时对应的时空坐标为(x, y, z, t)，那么在k’系中，该事件对应的时空坐标为：

1.4 时空距离

在k系中，有一个物体在t₁时刻从点（x₁, y₁,z₁）处以速度w出发，在t₂时刻运动到了点（x₂, y₂, z₂）处，那么可以列出速度-位移方程：

式中：w_x、w_y和w_z分别为w在x、y和z三个方向上的分速度的大小。

在k’系中描述这个过程的话：

基于时空变换关系（1-18），经过一定量的微分计算不难得到狭义相对论下的速度叠加定理：

不难看出当v相较c很小时它可近似为大家通常所用的速度叠加原理，即：

有了关系式（1-21），就可以算得：

这一关系式的得出基于实际的运动模型，故而有w<c的限制。但容易证明在任意情况下均有

如果在等式（1-23）的后面添加上“=L”，那么可以把“L”理解成“时空距离”，其中减号前的项可以看作是“空间距离”，减号后的（包括减号在内）则是“时间距离”。

①当L<0时，总能找到一个v，使得在这个k’系看来，这两个事件是同地不同时发生的（令空间距离为0，时间距离为负），即它们是“类时”的；

②当L=0时，在其它任意一个参照系中总是有w’=c，这两个事件不可能同时同地发生，即它们是“类光”的；

③当L>0时，总能找到一个v，使得在这个k’系看来，这两个事件是同时不同地发生的（令时间距离为0，空间距离为正），即它们是“类空”的。

如果将空间拓展成四维，那么（1-23）可以改写为：

其中：i表示虚数单位。

任意一个事件均可由四维时空坐标下的点（x, y, z, ict）来描述。因为两个事件之间的时空距离在任意惯性系下保持不变，所以在四维时空下，惯性系的切换对应的是四维时空坐标的刚性旋转，具体如下：

两个类时事件的时空距离为负，类光为零，类空为正。

第二部分 引力场中的空间和时间

2.1 等效原理

1907年11月爱因斯坦为了进一步推广狭义相对论而在刹那间有了惊人的洞见。现在无法得知爱因斯坦当时究竟做了什么样的思想实验，但基于其原理可以表述为如下过程：一个腔体漂浮在空虚太空中，腔体内有一个人甲，某时刻开始有一个力拉动腔体使其以加速度g开始向上运动；另一个腔体则静止在地球表面，腔体内有另一个人乙；如果甲和乙手里都握着一个小球，那么手松开后，小球均会以加速度g开始下落；如果甲和乙均向上跳起，那么他们会遵循完全一样的方式腾空并落地；总之，如果甲和乙做同样的力学实验，产生的结果不会有任何差异，或者说，甲和乙无法通过实验来判断自己究竟是处于加速运动的体系中还是在引力场中。

同一个现象却有着两个没有关联的理论去解释，或者，同一个理论对“不同”物理现象所做的区分无法通过实验加以鉴别，都预示着理论结构存在缺陷。

爱因斯坦的这个思想实验把引力和加速深刻关联在了一起：地面其实正向着天空以加速度g做加速运动。引力和加速之间的不可区分性即为“等效原理”，基于它，就能对引力场中的时空问题做相关计算了。

图2.1 等效原理的思想实验

2.2 刚性杆的加速问题

2.2.1 基本问题

某惯性系中有一个物体正在做加速运动，加速度本身是否对物体的运动形态有影响目前还暂无法去讨论。如果有，并且假定这种影响作用关于加速度值的一阶导均存在（排除如y=|x|这样的绝对值函数，因为它在原点处有突变），那么根据对称性，可以得出影响作用必是关于加速度值的偶次幂函数。当加速度充分小时，影响作用是关于加速度值的高阶无穷小而可以略去不做考虑，以下讨论均以此作为基准。

如图2.2所示，设有两个坐标轴完全一样的参照系k和∑，两者的x轴和ξ轴重合，y轴和η轴、z轴和ζ轴均平行。k为惯性系，∑系向着x轴的正方向做加速运动。显然，总可以找到另一个惯性系k’，使得∑系相对于k’系是瞬时静止的，此时一般称k’系为∑系的“局部惯性系”。本文将∑系相对于k’系的加速度称为“本体加速度”，∑系相对于k系的加速度称为“相对加速度”。

图2.2 加速系、局部惯性系和其它惯性系示意图

因为∑系和k’系是瞬时相对静止的，所以在极短的时间段内，∑系内任意一点的邻域内的物理过程，都可以用k’系中对应区域内的时钟和量杆来度量。再来看看∑系中事件的同时性的定义，这里还是借助k’系来定义∑系中事件的同时性，即若∑系中两事件对于k’系是同时的，则认为它们是同时的。

2.2.2 一般性运动方程

设在k系的0时刻，在x轴的原点上一个静止的物体α，开始以恒定的本体加速度A向着x轴的正方向开始做加速运动。设在后续的任意一个时刻t，将α的运动速度记为w。在与α对应的局部惯性系k’中，列出α的运动方程如下：

式中：w’和a’分别表示k’系中量得的物体的速度和加速度，其中a’即为物体的本体加速度。

基于图2.2所示的坐标关系，以洛伦兹变换关系（1-18）对方程（2-1）进行计算后可知，在k系看来，描述物体速度和加速的方程为：

式中：w和a分别表示k系中量得的物体的速度和加速度，其中a即为物体的相对加速度。

从方程（2-2）中也能看出，若物体以恒定的本体加速度在做加速运动，随着物体和k系之间的相对运动速度的增大，在k系看来，它的加速度——即相对加速度——会逐渐减小。

在k系中：

就方程（2-3），分别对变量w和t积分：

可得：

所以，物体α的运动方程为：

式中：x_α表示物体α的空间位置坐标。

2.2.3 松散质点间的运动规律

在k系的x轴上，物体α和β分别被摆放在坐标原点和x=l（l>0）处。在t=0时刻，让它们同时以相同的本体加速度A向着x轴正方向做加速运动。此时基于方程（2-5）可得两者的运动方程分别为：

这里，用下标“α”和“β”来区分不同物体对应的物理量。

在k系中，α和β之间的距离Δs（令t_α=t_β）为：

即在k系看来，α和β之间的距离始终保持不变。

设k’系是沿着k系的x轴正方向以速度v做匀速运动的惯性系，在t=t’=0时，k系和k’系完全重合。现在将α和β在k系中的运动方程（2-6）切换到k’系下：

当α加速到v后，k’系就是α的局部惯性系。基于方程（2-4）求得当α加速到v所用时间t_α为：

将t_α代入方程（2-7）得：

在k’系中同时考察α和β，需要置t_α’=t_β’（分别由（2-8）的第二个方程和（2-9）的第二个方程确定）：

整理得：

将t_β回代入（2-8）中的第一个方程，得：

现在结合（2-9）和（2-10），就能计算出k’中观察到的α和β之间距离l’了：

同时，不难证明：

所在k’系看来，虽然α是静止的，但β却正沿着x’轴正方向运动，且α和β之间的距离已经大于l了，即在α看来，β在不断远离自己。这一点是违反直觉的，因为大多数人可能会认为，要使得α认为β同自己的距离是固定的，那么它们的本体加速度应该相同。

2.2.4 刚性杆的运动规律

续上节，若α和β之间用刚性杆相连，则l’应始终等于l。为了区别起见，依旧将α和β对应的物理量分别注以下标“α”和“β”。基于上一节的分析可知，要使得l’始终等于l，必有A_α>A_β。先着眼于杆尾端的α，令其加速至v，那么时空转换方程沿用（2-9），但需要在本体加速度A上注以下标“α”，以示和物体β的区分：

在k’系中观测杆的长度需要满足同时性条件，置t_α’=t_β’，基于（2-8）的第二个方程和（2-11）的第二个方程，有：

整理得：

将（2-12）代入（2-8）的第一个方程，得：

现在结合（2-11）的第一个方程和方程（2-13），就能计算出k’中观察到的α和β之间距离l’了：

在k’系看来，当A_β过大时，刚性刚性杆会被不断拉长，而过短则会被不断压缩，所以必有一个适当的值，能使得杆长维持l不变，并且这个值对v必须是普适的，即最终能把方程（2-14）中的v消去。考虑到方程（2-14）中同时存在根号项和无根号项，所以要约去v，可以先置M=0：

解得：

将M=0和方程（2-15）代入方程（2-14）得：

这是一个恒成立得关系式，所以方程（2-15）就是要找的加速度方程。当然，这里对l有一定的限制，具体下一节再讨论。

最后再来看下k系中t时刻观测到的刚性杆的长度：

不难证明随着t的增大l_t会逐渐减小，当t趋向于无穷大时，lt趋向于0。

2.3 引力场中的时间

2.3.1 不同引力势处的时差效应

设想在一根长为l的刚性杆静置于k系的x轴上，记其尾端为α、首端为β，其尾端在坐标原点，首尾各固定一个同样的时钟并已经对它们做了同时性校准。随后，在t=0时刻，令其开始做本体加速度恒定的加速运动，其尾端加速度为A_α，那么首端加速度可由方程（2-15）得到。分别在在t=t_α和t=t_β时刻，其尾端和首端的速度分别达到了v。

解得：

因为是刚性杆，首端速度达到v和尾端速度达到v这两个事件，虽然在k系中不是同时发生的，但在刚性杆的局部惯性系k’中必须是同时的。

基于方程（1-10），对尾端时钟所经历的本地时间σ_α，有：

由方程（2-4），将

代入并积分：

同理可得首端时钟所经历的本地时间σ_β为：

移项得：

基于等效原理，这个方程说明了，在引力势高的地方，时钟会走得更快。虽然地球周围的引力场分布情况并不严格满足方程（2-15），但这里就近似以方程（2-17）来计算：若位于海平面的时钟走了1年的时间，那么位于珠穆朗玛峰顶部（8848m）的时钟会快30.04微秒（g取9.8m/s²）。这点时间差确实是非常微小的，但如果是在引力场更强的天体——极端情况如中子星和黑洞——附近的话，这种时差效应就会非常显著。

2.3.2 光线的引力红移

续上节，如果刚性杆的α处有一个光源连续向β处发射频率恒为γ_α的光波，那么可以这么说，α处连续发射两个光子之间的本地时间间隔均为：

设：α发射第一个光子时，β处的本地时间为σ_β1；β接受到这第一个光子时，其本地时间为σ_β1+Δσ_αβ。

基于方程（2-18），α发射第二个光子时，β处的本地时间σ_β2为：

因为时空是稳定的，那么β接收到第二个光子时的本地时间应为σ_β2+Δσ_αβ。所以β接收两个光子的本地时间间隔为：

这说明了，在β处的观察者看来，光波的频率就变成了：

方程（2-19）展示的物理意义就是“引力红移”，即光在从引力势低的地方向高的地方行进的过程中，其频率会慢慢变小。

2.4 加速系与惯性系之间的坐标转换

2.4.1 坐标变换关系式

如图2.2所示，有一个加速参照系∑以及一个惯性系k。在两者相对静止时，它们的原点与坐标轴完全重合，并置此时作为两者的时间0点。∑系沿着k系的x轴的正方向运动。k的坐标轴为x、y和z，相应的，∑系的坐标轴为ξ、η和ζ。

在∑系中，当考察某一个空间点邻域内的物理过程的时候，合理的方式是用本地时间σ。但是当需要考察处于不同引力势的两个点之间的物理过程（比如某一个物体从引力势低的地方移动到高的地方）的时候，用本地时间σ显然就不合适了，因为在这种情况下需要考虑在不同空间点上的事件的“同时性”。此时，可以以位于∑系的原点的那个时钟的时间作为∑系的全局时间，其它空间点上的时钟通过光信号与该时钟进行校准，记全局时间为τ。

由方程（2-17）可知，其它空间点（ξ, η, ζ）上的本地时间为：

式中：A表示坐标原点处的本体加速度。

2.2.4中提到了对l的某种限制，在这里需要有：

否则会出现时间的倒流。或者说，若ξ不满足这一限制，那么对于在∑系坐标原点的观察者而言，他永远无法看到ξ处发出的射向他的光线，ξ就像是处于黑洞的事件视界内。

在∑系中任意选取两个点，这两个点对应的ξ轴的坐标分别为ξ₁和ξ₂，则它们之间的本地时间的差异为：

在∑系中任取一点(ξ, η, ζ)，基于方程（2-15）可得该点的本体加速度A’为

那么在k系中，该点的位移关于时间的方程为：

结合方程（2-22）和（2-23），就能得出ξ关于x和t的关系式：

基于方程（2-16），可求得该点的本地时间为：

再由方程（2-20）即可求得∑系的全局时间τ：

综上，由k系到∑系的时空转换方程为：

将∑系的时空坐标参数作已知量，k系的作未知量，则可求得时空转换的逆变方程如下：