【原】新教材里潜在的高考题系列39：不曾有过的投影向量

新教材好文系列继续，今天说说教材里的投影向量.

1

投影数量与投影向量

人教A版新教材必修第2册第18页，给出了投影和投影向量的定义.

注意，这几个名词的区别.

投影，是一个动作.

投影向量，是一个向量.

过去老教材里也讲到过投影.

老教材里是这样写的：我们把|a|cosθ叫做向量a在向量b方向上的投影.

这个老教材上写的投影，可以理解为投影数量.

简而言之，新教材里的投影向量=老教材里的投影数量×在方向的单位向量.

即：

向量a在向量b上的投影向量=|a|cosθe

（黑体e表示向量b方向上的单位向量）

2

投影法妙解高考题

投影法求解数量积，也不是什么新方法，它依然来自于数量积的定义式——我们把|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积.

因为|a|cosθ是向量a在向量b方向上的投影数量,因此数量积又可以这样理解：

1.|b|×向量a在向量b方向上的投影数量；

2.或者|a|×向量b在向量a方向上的投影数量.

解题实战中，用1还是2，要看哪个投影数量容易求解.

高考实战中，用投影法往往有奇效.

2020年新高考I卷第7题，就非常精彩：

此题用投影法求解就很快，因为直观.

当P点与C点重合时，向量AP在向量AB方向上的投影数量为正，且正的最大；

当P点与F点重合时，向量AP在向量AB方向上的投影数量为负，且负的最多.

导数综合题作为新高考的压轴题，重要程度无需多言.