一.一部历法，需要规定一个起算时间，我国古代历算家把这个起点叫做“历元”或“上元”，并且把从历元到编历 年所累积的时间叫做“上元积年”。
二.上元积年的推算需要求解一组一次同余式。以公元三世纪三国时期魏国施行的《景初历》做例，这部历法规定以冬至、朔旦（朔日子夜）和甲子日零时会合的时刻作为历元。设a是一回归年日数，b是一朔望月日数，当年冬至距甲子日零时是R1日，离平朔时刻是R2日，那么《景初历》上元积元数N就是同余组
aN≡Ri（mod60）≡R2（modb）
的解。到了南北朝时期，祖冲之《大明历》（公元462年）更要求历元必须同时是甲子年的开始，而且“日月合璧”、“五星联珠”（就是日、月、五大行星处在同一方位），月亮又恰好行经它的近地点和升交点。这样的条件下推算上元积年，就相当于要求解十个同余式了。天文历法数据一般又都十分庞杂，所以，在《孙子算经》成书前后的魏晋南北朝时期，我国的天文历算家无疑已经能够求解形式比《孙子算经》“物不知数”题复杂得多的一次同余式，因而必定掌握了按一定程序计算一次同余式的方法。《孙子算经》比例题的形式总结、反映了这一事实。以后天文历算家长期沿用孙子算法推算上元积年，这中间肯定会引起更加深入的探讨。到公元十三世纪，大数学家秦九韶集前法之大成，终于在一次同余式的研究上获得了超越前人的辉煌成果。
三.实际使用中，及精密了，而又逐渐淘汰了.
我没在重新讨论一下.
1.古代历法中一般都设有历元，作为推算的起点。这个起点，习惯上是取一个理想时刻。
2.通常取一个甲子日的夜半，而且它又是朔，又是冬至节气。
3.从历元更往上推,求一个出现“日月合璧，五星联珠”天象的时刻,即日月的经纬度正好相同，五大行星又聚集在同一个方位的时刻。这个时刻称为上元。
4.从上元到编历年份的年数叫作积年，通称上元积年。上元实际就是若干天文周期的共同起点。
5.有了上元和上元积年，历法家计算日、月、五星的运动和位置时就比较方便。
6.中国推算上元积年的工作，首先是从西汉末年的刘歆开始的。刘歆的《三统历》以 19年为1章，81章为 1统，3统为1元。经过 1统即1,539年，朔旦、冬至又在同一天的夜半,但未回复到甲子日。经 3统即 4,617年才能回到原来的甲子日，这时年的干支仍不能复原。《三统历》又以 135个朔望月(见月)为交食周期，称为“朔望之会”。1统正好有141个朔望之会。所以交食也以 1统为循环的大周期。这些都是以太初元年十一月甲子朔旦夜半为起点的。刘歆为了求得日月合璧、五星联珠的条件，又设 5,120个元、23,639,040年的大周期，这个大周期的起点称作太极上元。太极上元到太初元年为 143,127年。在刘歆之后,随着交点月、近点月等周期的发现，历法家又把这些因素也加入到理想的上元中去。
6.日、月、五星各有各的运动周期，并且有各自理想的起点，例如，太阳运动的冬至点，月亮运动的朔、近地点、黄白交点等等。从某一时刻测得的日、月、五星的位置离各自的起点都有一个差数。以各种周期和各相应的差数来推算上元积年，是一个整数论上的一次同余式问题。
7.随着观测越来越精密，一次同余式的解也越来越困难，数学运算工作相当繁重，所得上元积年的数字也非常庞大。这样,对于历法工作就很少有实际意义,反而成了累赘。后经曹士
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