有一所“几何大学”，在这所大学，学生学习了很多几何，但很少学习算术。几何大学举办了一个“做蛋糕”的比赛，要求尽可能把蛋糕做大，最终由评委判定出胜负。A组做出的蛋糕尺寸是：16厘米长，9厘米宽。B组的蛋糕则是一个边长为12厘米的正方形。A组队长说，我们的蛋糕比你们的长得多，显然我们的蛋糕更大，所以我们赢了。“但是你们长方形的短边比我们正方形的边长短得多，”B组队长说。“我们的蛋糕显然更大，赢家应该是我们。评委觉得争论这个很奇怪。她说：“矩形蛋糕的面积是9乘以16，等于144平方厘米。正方形蛋糕的面积是12乘以12，也是144平方厘米。蛋糕的大小是一样的，这是平局。”其中有人说，我听说算术学院的学生曾经用数字测量过面积，但这到底是什么意思？评委该怎么办？如果他们不知道如何测量面积和乘法，她怎么能让参赛者相信他们的蛋糕是一样大的呢？评委想了想说，给我一把剪刀。评委从长方形蛋糕的两条长边量出了12厘米，把大矩形变成了两个小矩形：一个是9 × 12，另一个是9 × 4。然后，她又把9乘4的一块变成了3个更小的3乘4的小块。现在两队相信他们的蛋糕是一样大的。这样的“分割”在几何中已经被使用了几千年，用来表示图形是相同大小的。即使在今天，数学家仍然使用分割和重新排列来充分理解某些形状何时是相同的，这导致了一些令人惊讶的结果。我们知道，平行四边形的面积等于它的底长乘以高，这是因为平行四边形可以被分割并重新排列成矩形。比赛继续。C组带着一个巨大的三角形蛋糕过来了。“我们获胜者，”他们大胆地宣布。“我们两边都比他们的边长得多。”评委说，你们蛋糕的面积和A、B组的也相同。“这是一个直角三角形，直角边长度分别是18和16，所以面积是……”评委顿了一下，注意到每个人脸上困惑的表情。“哦，没关系，把剪刀给我。”一顿操作如下，B组对此表示怀疑。“但是这个三角形和我们的正方形比起来怎么样？”他们的队长问道。评委早就准备好了。“我们已经知道矩形和正方形是一样大的，所以根据传递性，三角形和正方形是一样大的。”传递性是等式最重要的性质之一：它说的是，如果a = b和b = c，那么a = c。评委继续说，如果第一个蛋糕的面积等于第二个蛋糕的面积，第二个蛋糕的面积等于第三个蛋糕的面积，那么第一个和第三个蛋糕的面积也必须相等。 或者我们可以再做一些削减。首先，评委旋转了原来是三角形的矩形。然后她用A组用过的矩形图案切割它。然后她展示了如何将C组的三角形分解成B组的正方形，就像她对A组的矩形所做的一样。在这种情况下，我们说三角形和正方形是“剪刀全等”：想象用剪刀把一个图形切成有限的多个小块，然后再重新排列成另一个。在三角形和正方形的例子中，蛋糕准确地展示了剪刀的一致性的原理。注意，它可以把三角形变成正方形，也可以把正方形变成三角形。换句话说，剪刀全等是对称的：如果形状A与形状B是剪刀全等的，那么形状B与形状A也是剪刀全等的。事实上，上面关于三角形、矩形和正方形的论证表明，剪刀全等也是可传递的。因为三角形与矩形是剪刀全等，矩形与正方形是剪刀全等，所以三角形与正方形是剪刀全等。如果把三角形切成构成矩形的小块，然后再把矩形切成构成正方形的小块，得到的小块可以用来形成这三种形状中的任何一种。剪刀全等可传递这一事实，是一个惊人结果的核心：如果两个多边形有相同的面积，那么它们就是剪刀全等的。这意味着，给定任意两个具有相同面积的多边形，你总是可以将其中一个切割成有限数量的小块，然后重新排列它们以生成另一个。这个著名定理的证明也非常简单。首先，将每个多边形切成三角形。第二步，把每个三角形都变成矩形，就像评委重新排列三角形蛋糕一样。现在到了棘手的技术部分：将每个矩形转换为一个单位宽的新矩形。如果你能把矩形切成宽度为1的整数块，就大功告成了。否则，当最后一片的宽度在1到2个单位之间时停止切割，将剩下的堆叠在一起。如果矩形本身的宽度小于1个单位，不要担心，只要把它切成两半，用这两部分做一个新的矩形，它的长度是原来的两倍，宽度是原来的一半。重复操作，直到得到一个1到2单位宽的矩形。现在想象最后一个矩形：高h宽w, 并且1 < w < 2。我们将把这个矩形切割并重新排列成一个宽度为1，高度为h × w的矩形。要做到这一点，就要将h × w矩形与所需的hw × 1矩形像下图这样覆盖。然后沿着虚线从一个角切到另一个角，并在hw × 1矩形的右边缘下面切下一个小三角形。这将把h × w矩形切成三块，可以重新排列成一个hw × 1矩形。最后，把最后一个矩形放在顶部，这就成功地把这个多边形变成了一个宽度为1的矩形。现在如果原多边形的面积是A，那么这个矩形的高一定是A，所以每个面积为A的多边形与一个宽为1高为A的矩形是剪刀全等的，这意味着如果两个多边形的面积为A，那么它们都与同一个矩形是剪刀全等的，因此根据传递性，它们彼此是剪刀全等的。这表明，每个面积为A的多边形与其他面积为A的多边形剪刀全等。评委知道，要把一个圆切成有限的小块，再重新排列成正方形、矩形或任何多边形，是不可能的。1964年，数学家莱斯特·杜宾斯、莫里斯·赫希和杰克·卡鲁什证明了圆与任何多边形都不是剪刀全等的。数学家们把这个障碍变成了新的数学。1990年拉茨科维奇证明了，只要你能使用无限小、无限不连续、无限多的锯齿状碎片，就可以把圆切成正方形。尽管拉茨科维奇的结果令人惊讶和兴奋，但它只是证明了这种分割在理论上是可能的。它没有解释如何构造这些碎片，只说它们可以存在。这就是Andras Máthé，Oleg Pikhurko and Jonathan Noel登场的地方：2022年初，他们发表了一篇论文，在论文中，他们的结论与拉茨科维奇的一样，但用的是可以可视化的作品。不幸的是，你不能用他们的结果来评定任何蛋糕烘焙比赛。剪刀无法分割所需的10^200个碎片。但是，从阿基米德第一次发现π开始，在回答一长串问题方面又向前迈进了一步。它促使我们不断发明或发现前几代人无法想象的新数学。
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