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很多人都认为不断地做题是解决数学学习的唯一方案，不是在做题，就是在做题的路上。而学校老师在讲解完一道题之后总会留很多的时间给大家整理思考。很多学生不以为然，都不知道怎么利用这个时间。要么继续做其他题，要么就无所事事。无论哪种选择都既浪费了时间，又没有得到真正的成长。很多时候快就是慢，慢就是快。这个时间我们可以认真思考题目的本质，寻求题目的本源，发现题目的共性，找到题目的内在联系。   我们以下面这个题目为例。   母题：  例题一：如图所示，正方形ABCD中，点E在BC边上，点F在CD边上，且∠EAF=45°，求证：EF＝BE＋DF。
 分析解答：  结论中存在EF=BE+DF，所以考虑到截长补短，如图延长EB到点G，使得BG=DF，从而构造△AGE≌△AFE，利用全等得到EF=EG即可证明。
 总结： 从题目来讲，这是一道最经典的截长补短的问题，而且我们可以总结得到图形的一个特征——半角，存在半角就必须通过旋转实现角的相等。那么我们就可以从这些角度来看看其他的题目，或者说我们在碰到其他题目的时候能否发现一些类似的处理方式。 变式一：嵌入母题原题 例题二：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，两锐角的角平分线交于点P，点E、F分别在边BC、AC上，且都不与点C重合，若∠EPF＝45°，连接EF，当AC＝6，BC＝8，AB＝10时，求△CEF的周长．
分析解答： 此题在点P处出现一个45°显得很突兀，其实考虑到点P是直角三角形ABC的内心（三条角平分线的交点），我们就可以发现一个隐藏的正方形CMPN，这样问题就变成了我们的母题了。
变式二：套用母题思路 例题三：（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且 （2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且
分析解答： 此题和母题比较，都是半角模型（有共同顶点的两个角，大角是小角的两倍），所以我们可以采取相同的思路来解决。对于问题2就是变化中的不变性（图形变化，结论可能变化，但解决问题的思路不变）。
变式三：深挖母题根源 例题四：如图所示，正方形ABCD，边长AB=4，点E在AB上，点F在CD上，将正方形沿直线EF折叠，使得点B恰好落在边AD上的P处，且折叠后的边BC与原线段CD交于点G，当点P在AD边上移动时，△DPG的周长是否发生变化？为什么？
分析解答： 此题很显然△DPG的形状是一直发生变化的，但不确定△DPG的周长是否发生变化。一般情况下我们考虑是否可以用一个变化的量来表示这个周长，如果变化就是这个变量的函数，如果不变就应该得出一个常数。因此我们寻找一个变量，我们就设AP＝ｘ，试着用ｘ来表示△DPG的周长。如下图所示，根据图形我们发现可以利用△APE∽△DPG来求解。
思考 在得出这个结论之后，我们发现△DPG的周长等于边长AD的两倍，也就是说PG=AP+GC，此时的结论应该很熟悉，我们试着用截长补短来处理就会发现这个正方形折叠的背后隐藏的秘密。
我们可以发现其实这道题本质上就是母题，而∠PBG的大小恰好就是45°，PG的长正好等于AP和CG的和。 以上的几个例子反映了很多披着不同外衣的题目内在的相通性。数学不光要多见识，体现广度；更要深入的思考，体现其深度。都说数学是思维的体操。思维就是多思考，多联想，多比较，多总结。让我们都慢下来，不要追求做题的数量，立足思维深度，达到事半功倍的效果。 记住：慢下来，慢就是快。 END 扫描二维码更精彩 |
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