【原】二次函数中的特殊角问题、线段最值问题，考查全面，对同学们要求较高！

1.如图，已知二次函数与x轴交于A(-1，0)、B(5,0)两点，与y轴交于点C

(1)求二次函数的表达式.

(2)①P为第四象限抛物线上一点，PD⟂BC于点D，PD取最大值时，求P点的坐标;

②M为抛物线上一点，且∠ACM=45°，求点M的坐标.

(3)如图2，E为BC上一动点，F在AE上，且EF=4AF，G为点C关于x轴的对称点，求4AE+5GF的最小值.

解：(1)将点A(-1，0)、B(5,0)代入表达式得，故抛物线的表达式为

(2)①过点P作PH||y轴交BC于点H，易知PD=PH，BC:y=x-5设P(m,),则H(m,m-5),PH=m-5-()=

,当m=时，PH取最大值，PD亦取最大值，此时P()

②过点A作AIAC交CM于点I，过点A作JK||y轴，作IJ、CH垂直于JK，易知△AIJ≌△CAK，AJ=CK=1，IJ=IK=5,故I(4,1),可得CI：，与抛物线联立得

，故M（）

(2)由已知得，故点F在与BC平行的直线l上运动，

4AE+5GF=5()=5(FE+GF)，当G、F、E共线且垂直于BC时，可取最小值，即GE⊥BC时，GE==5，故(4AE+5GF)_min=25

点评：此题对学生的考查是比较全面，既考查线段最值、线段和差最值，又考查特殊角的存在性问题.技巧性较强，例如45度角，一般构造等腰直角三角形、一线三角全等解决问题；而线段和差最值，则利用对称共线解决；

此题还可以进行相应的变形，例如将角度变成30度或60度，亦或是非特殊角；线段和差最值的系数可以改变，相应的解答方法仍不变.

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