【原】中考数学压轴试题复习第一部分专题五因动点产生的面积问题

因动点产生的面积问题

课前导学

面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类：

第一类，先根据几何法确定存在性，再列方程求解，后检验方程的根．

第二类，先假设关系存在，再列方程，后根据方程的解验证假设是否正确．

如图1，如果三角形的某一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”的三角形的面积，直接用面积公式．

如图2，图3，三角形的三条边没有与坐标轴平行的，计算这样“不规则”的三角形的面积，用“割”或“补”的方法．

图1                      图2                     图3

计算面积长用到的策略还有：

如图4，同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等．

如图5，同底三角形的面积比等于高的比．

如图6，同高三角形的面积比等于底的比．

图4                  图5           图6

例32         2014年湖南省常德市中考第25题

如图1，已知二次函数的图象过点O(0,0)、A(4，0)、B()，M是OA的中点．

（1）求此二次函数的解析式；

（2）设P是抛物线上的一点，过P作x轴的平行线与抛物线交于另一点Q，要使四边形PQAM是菱形，求点P的坐标；

（3）将抛物线在轴下方的部分沿轴向上翻折，得曲线OB′A（B′为B关于x轴的对称点），在原抛物线x轴的上方部分取一点C，连结CM，CM与翻折后的曲线OB′A交于点D，若△CDA的面积是△MDA面积的2倍，这样的点C是否存在？若存在求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“14常德25”，拖动点P在抛物线上运动，可以体验到，当四边形PQAM是平行四边形时，也恰好是菱形．拖动点C在抛物线上运动，还可以体验到，△MCA与△MDA是同底三角形，它们的面积比等于对应高的比．

思路点拨

1．设交点式或顶点式求抛物线的解析式都比较简便．

2．先确定四边形PQAM是平行四边形，再验证它是菱形．

3．把△CDA与△MDA的面积比，转化为△MCA与△MDA的面积比，进而转化为点C与点D的纵坐标的比．

图文解析

（1）因为抛物线与x轴交于O(0,0)、A(4，0)两点，设y＝ax(x－4)．

代入点B()，得．解得．所以．

（2）如图2，由A(4，0)，M是OA的中点，可知OA＝4，MA＝2，M(2, 0)．

如果四边形PQAM是菱形，已知PQ//OA，首先要满足PQ＝2，再必须MP＝2．

因为抛物线的对称轴是直线x＝2，P、Q关于x＝2对称，所以点P的横坐标为1，故点P的坐标为．

由M(2, 0)、P，可得MP＝2．所以当点P的坐标为时，四边形PQAM是菱形．

（3）如图3，作CE⊥x轴于E，作DF⊥x轴于F．

我们把面积进行两次转换：

如果△CDA的面积是△MDA面积的2倍，那么△MCA的面积是△MDA面积的3倍．

而△MCA与△MDA是同底三角形，所以高的比CE∶DF＝3∶1，即y_C∶y_D＝3∶1．

因此ME∶MF＝3∶1．设MF＝m，那么ME＝3m．

原抛物线的解析式为，所以翻折后的抛物线的解析式为．

所以D，C．

根据y_C∶y_D＝3∶1，列方程．

整理，得3m²＝4．解得．所以．

所以点C的坐标为（如图3），或（如图4）．

图2                       图3                          图4

考点伸展

第（1）题可以设抛物线的顶点式：

由点O(0,0),  A(4，0)，B()的坐标，可知点B是抛物线的顶点．

可设，代入点O(0,0)，得．

例33         2014年湖南省永州市中考第25题

如图1，抛物线y＝ax²＋bx＋c（a≠0）与x轴交于A(－1, 0)，B(4, 0)两点，与y轴交于点C(0, 2)．点M(m, n)是抛物线上一动点，位于对称轴的左侧，并且不在坐标轴上．过点M作x轴的平行线交y轴于点Q，交抛物线于另一点E，直线BM交y轴于点F．

（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标；

（2）当S_△MFQ∶S_△MEB＝1∶3时，求点M的坐标．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“14永州25”，拖动点M在抛物线左半侧上运动，观察面积比的度量值，可以体验到，存在两个时刻，△MEB的面积等于△MFQ面积的3倍．

思路点拨

1．设交点式求抛物线的解析式比较简便．

2．把△MFQ和△MEB的底边分别看作MQ和ME，分别求两个三角形高的比，底边的比（用含m的式子表示），于是得到关于m的方程．

3．方程有两个解，慎重取舍．解压轴题时，时常有这种“一石二鸟”的现象，列一个方程，得到两个符合条件的解．

图文解析

（1）因为抛物线与x轴交于A(－1, 0)，B(4, 0)两点，设y＝a(x＋1)(x－4)．

代入点C(0, 2)，得2＝－4a．解得．所以

．

顶点坐标为．

（2）如图2，已知M(m, n)，作MN⊥x轴于N．

由，得．所以．

因为抛物线的对称轴是直线，所以ME＝．

由于S_△MFQ＝＝＝，

S_△MEB＝＝，

所以当S_△MFQ∶S_△MEB＝1∶3时，∶＝1∶3．

整理，得m²＋11m－12＝0．解得m＝1，或m＝－12．

所以点M的坐标为(1, 3)或(－12,－88)．

图2

考点伸展

第（2）题S_△MFQ∶S_△MEB＝1∶3，何需点M一定要在抛物线上？

从上面的解题过程可以看到，△MFQ与△MEB的高的比与n无关，两条底边的比也与n无关．

如图3，因此只要点E与点M关于直线x＝对称，点M在直线的左侧，且点M不在坐标轴上，就存在S_△MFQ∶S_△MEB＝1∶3，点M的横坐标为1（如图3）或－12（如图4）．

图3                                  图4