【原】​一根绕过树杆的绳子

用一根绕过树杆的绳子能够以一个比较弱的力抗衡一个比较强的力。

前面讨论了一根被拉直的绳子的运动。让我们在这个基础上考虑一个更复杂的问题：一根绳子绕过一棵大树的树杆，在两头用力拉伸。我们想要知道，在什么条件下这两个力会达到相互抗衡的状态。

作为一个简化模型，把大树的树杆看作是一根固定的圆柱木桩。把围绕着圆柱的那一段绳子分割成若干小段，考虑其中一小段的受力状况。

假设这一小段绳子对圆心的张角为 ，在它的两端各有一个张力 和 ，各自沿着这两个端点的切线方向。从简单的几何关系可以看出，这两个张力的方向与这一小段绳子的中点处的切线所成的角度正好是这段绳子对圆心的张角的一半：。除了张力，这一小段绳子还受到圆柱对它的正压力 以及圆柱与绳子的摩擦力。不失一般性，假设左边的拉力 比右边的拉力 大，于是，绳子就会沿逆时针方向滑动或者有滑动的趋势，圆柱对绳子的摩擦力则沿顺时针方向。为了简单起见，只考虑一种特殊的状态，较弱的那个力刚好能够抗衡较强的那个力，使静摩檫力达到最大值，静摩擦系数就用 表示。

在上述设定的状态下，绳子并没有运动。把所有的力按照这段绳子中心处的切线方向和法线方向分解，列出这段绳子的牛顿第二定律方程：

如果对绳子的这种分割使每一小段都是无穷短，则每一小段对圆心的张角都是无穷小，对应的余弦可以用 1 来代替，而正弦则可以用这个角本身来代替：

另一方面，在动力学方程的第一个等式中，与张力有关的项只有

这一项一级小量，必须予以保留，而在第二个等式中，

张力的改变量 与张力本身相比是一个无穷小量，可以忽略。综合上述分析，每一小段绳子的动力学方程就可以改写成：

结合两个方程把正压力消去，得到关于张力的微分方程：

上面给出的微分方程属于最简单的一类微分方程，求解起来并不困难。

把上面的微分方程改写成如下形式：

对这个方程的两边同时沿着围绕圆柱的那一段绳子做定积分，右边对角度的定积分正好等于围绕着圆柱的那一段绳子对圆柱中心的张角 ，而左边对张力的定积分的积分限为 和 。积分的结果为：

整理后得到

结果发现，由于存在指数因子，只要用一个较弱的力 就能够抗衡一个较强的力 。

可以用一个简单的实例给出两个力之间明确的数值关系。通常的绳子基本上是用植物材料制造的，木料之间的静摩擦系数大约是0.5。为简单起见，假定 与 的方向相同，在这种情况下，。于是得到 。