2.11 波函数空间

2.11 波函数空间

在接下来的学习中，我们将重点研究量子力学所用到的基本数学工具，认识波函数空间，态空间，狄拉克符号，态空间中的表象，本征值方程，观察算符，表象和观察算符和，态空间的张量积等。

在量子力学中，我们只研究一类波函数 ，它处处确定，处处连续，并且是任意多次可微分，处于有界区域中。这些函数平方可积，按玻恩概率解释，是粒子的概率密度，如果遍布整个空间，则总概率为1。

所有平方可积函数形成的集合记作，其中充分正规函数构成的波函数集合记为，它是的子空间。

1、波函数空间的结构

a、是一个矢量空间

若   , 便有

式中    和    是任意复数。这就是说空间中的任意两个波函数的线性叠加还是空间的元素，空间具有加法和数乘运算的封闭性，从而证明是一个矢量空间。

为了要证明    是平方可积的, 可以展开    :

此式中最后两项的模相同。

柯西-施瓦茨不等式

当而且仅当    与    成正比时, 式中的等号才能成立. 由此可知(2)式不会大于

由于    和    都是平方可积的, 因而就有一个大于    的函数, 它的积分是收敛的, 所以    是平方可积的.

b、标量积

. 定义

对于    中的任意一对顺序为    及    的函数, 我们引入一个相关的复数, 记作   , 它的定义是:

 叫做    与    的标量积 [只要    和    属于   , 这个积分总是收敛的].

. 性质

从定义 (1) 可以得到

我们说一对函数的标量积与其第二个因子的关系是线性的, 与其第一个因子的关系是反线性的. 如果   , 我们就说    和    是正交的.

是一个正实数, 当而且仅当    时, 它才为零.  叫做    的模 [很容易证明这个数具备模的所有性质]. 利用上面引入的标量积便可以定义    空间中的模.

c. 线性算符

定义

按定义, 线性算符    是一种数学实体, 它使每一个函数    都有与之对应的另一个函数   , 而且它们的对应关系是线性的:

我们举线性算符的几个例子: 宇称算符   , 它的定义是

表示乘以    的倍乘算符, 记作   , 其定义是

最后, 对    求导数的算符, 记作   , 其定义是

[算符    和   , 作用于函数   后, 也许会将它变换为一个不再平方可积的函数].

. 算符的乘积

两个线性算符    和    的乘积    由下式定义:

即先将    作用于   , 得到   , 再将    作用于所得的函数   . 一般说来,   , 我们定义:

并把算符    称为    与    的对易子. 作为例子, 我们来计算对易子   . 为此, 任取一个函数    :

由于这个结果对于任何    都成立, 于是得到:

2.    中的离散的正交归一基:  

a. 定义

设有    空间中的一个可列的函数集合; 这集合中的函数可用离散的指标    来标记:

如果

[式中    是克罗内克符号, 当    时, 其值为 1 ; 当    时, 其值为 0 ], 则集合    是正交归一的.

如果每一个函数    都可以唯一地按全体    展开:

则这个集合    构成一个基.

b. 波函数在基    中的分量

用    乘  (16)  式两端再对整个空间积分, 根据 (6) 式及 (15) 式, 有:

这就是说:

因此,    在    上的分量    等于    与    的标量积. 基    一旦选定, 给出    或给出它在诸基函数上的分量    的集合是等价的. 我们 说数    的集合表示基    中的   .

附注:

(i). 上面所说的基可以类比于普通三维空间    中的正交归一基   .    互相正交而且都具有单位长度这一事实可以表示为

 中的每一个矢量    都可以按基    展开, 即

其中

因此可以说，公式（15）、（16）和（18）推广了公式（19）、（20）和（21），但须注意，这里的都是实数，而前面的都是复数。

(ii).同一个函数在两个不同的基中的分量显然是不同的。

(iii).在基中，线性算符可以用一个矩阵来表示。

c、将标量积表示为诸分量的函数

设和是两个波函数，它们的展开式为：

这就是说

特别地

可见两个波函数的标量积 (或一个波函数的模平方) 可以很简单地表示 为这些函数在基    中的分量的函数.

附注:

设    和    是    空间中的两个矢量, 它们的分量分别为    和   ; 如所周知, 两者的标量积的分解式为

因此, 可以把公式  (23)  看作是  (25)  式的推广.

d. 封闭性关系式

正交归一关系式（15）表明, 集合    中的每一个函数都已归一化为 1 , 而且这些函数两两正交. 我们现在要建立另一个关系式——封闭性关系式，它表明这个集合构成一个基。如果    是    中的一个基, 那么对于每一个函数   , 都存在 一个形如 (16) 式的展开式. 现将诸分量    的表示式 (18) 代回 (16) 式 [由于 已经出现在 (16) 式中, 故须将积分变量的符号改变一下]:

交换    和    后得到:

可见    应为    和    的这样一个函数   , 它使得对于每一个 函数    都有:

方程 (28) 正是函数    的一个性质 . 由此我们得到:

反之, 如果一个正交归一集合    满足封闭性关系式 (29), 则此集合构成一个基. 这是因为, 我们可以将任意函数    写成下列形式:

将    的表示式 (29) 代入此式, 便得到 (27) 式, 只要将累加号和积分号再交换一次, 我们就回到了 (26) 式. 所以, 这个方程表明    总是可以按诸函数    展开的, 而且给出全体展开系数.

附注:后面我们还要利用狄拉克符号来研究封闭性关系式, 将会看到这个关系式具有简单的几何意义.

3. 引入不属于    的 “基”

上面所说的基    是由平方可积函数构成的. 引入另一种 “基” 也是方便的, 虽然这种 “基”中的函数既不属于    也不属于   , 但每个波函数    仍然可以按这种基展开. 下面我们列举这种基的几个例子, 并说明怎样把前节中已经建立的那些重要公式推广到这种基.

a. 平面波的例子

为简单起见, 我们只考虑一维的情况. 我们来研究只依赖于变量    的平方可积函数   . 引入    的傅里叶变换  

考虑函数   , 其定义为:

 是一个平面波, 波矢量为   , 但    遍及整个    轴的积分是发散的. 因此,   . 我们用    表示所有的平面波的集合, 也就是对应于    的一切数值的函数    的集合. 我们可以把从    连续变化到    的    看作一种连续指标, 用它来标记集合    中的一切函数 [提醒一下, 在前面已经研究过的集合    中, 指标    是离散的]. 利用 (32) 式, 可将 (31) 式改写为:

我们可以将这两个公式和  (16)  及 (18) 式对比一下. (33-b) 式表示, 每一个函数    都可以按全体    唯一地展开, 也就是按平面波展开. 由于指标   不是离散的, 而是连续变化的, 所以  (16)  式中的累加号    换成了对  p  的积分. (33-a) 式和 (18) 式一样, 以标量积 的形式给出了  在    上的分量   ; 对应于    的一切可能值的全体分量的集合构成  了  的函数   , 它就是    的傅里叶变换. 因而    类比于   . 这两个复数, 一个依赖于   , 一个依赖于   , 分别表示同一个函数    在两个不同的基    及    中的分量. 这一点在计算    的模平方时同样是明显的. 根据帕塞瓦尔等式

则

此式和 (24) 式是相似的, 只是    换成    换成   .

我们现在来证明,    满足一个封闭性关系式. 实际上, 利用下列公式 :

可以求得

此式与 (24) 式是相似的, 也只是将    换成   . 最后, 我们来计算标量积   , 以便判断是否存在着相当于正交归一关系式的式子. 再利用 (35) 式, 我们得到

即

比较 (37) 式和  (15)  式: 原来的离散指标    和    以及克罗内克符号    现在换成了连续指标    和    以及两指标之差的    函数   . 注意, 若令   , 则标量积    是发散的; 于是我们又看到   . 以后我们仍然称 (37)式为 “正交归一关系式”, 虽然这个名称并不妥当. 有时我们说    '在狄拉克意义下正交归一化'.

以上结果不难推广到三维情况. 我们考虑平面波:

现在, 基    中的函数依赖于三个连续指标   , 可将它们缩并为记号   . 很容易证明下列各公式:

它们就是 (33-a), (33-b), (34), (36) 和 (37) 式的推广. 因此,我们可以认为,    构成一个 “连续基”. 在前面, 对于离散基    已经建立的所有公式都可以推广到现在的连续基中去, 为此, 只须利用表 (1) 中的对应关系:

b、“函数”的例子

同样, 我们也可以引入    的函数的一个集合   , 其中的函数是以连续指标   的缩并记号)为标记的, 它们的定义是:

因此,    表示以空间的不同点    为中心的    函数的集合;    显然不是平方可积的, 即   . 现在来考虑对于空间    中的一切函数    都能成立的下列等式:

根据 (45) 式, 可将此两式改写为下列形式:

(48) 式表示, 每一个函数    都可以按诸函数    唯一地展开.  (49)  式表示,    在函数    上的分量 (在这里我们遇到的是实的基函 数) 刚好等于    在点   . (48) 和 (49) 式类似于 (16) 和 (18) 式: 只是将离散指标    换成了连续指标   , 将    换成了   . 因而,    的意义和    的相同, 是    的相当量; 这两个复数, 一个依赖于   , 一个依赖于   , 表示同一个函数    在    及    这两个不同的基中的坐标 . 现在  (23)  式变为

由此可见, 标量积的定义 (4) 式其实就是将 (23) 式应用到连续基    而得的结果. 最后我们指出, 诸函数    所满足的 “正交归一关系式' 与封闭性关系式, 和    所满足的那些关系式相同; 事实上, 我们有 :

和

因此, 对于离散基    已经建立的所有公式都可以推广到连续基    中去, 为此只须利用表 (II-2) 中的对应关系:

重要附注:

上面引入的连续基的用途在后面将会显得更清楚. 但是, 绝不能忘记这一点: 和某一物理状态对应的总是一个平方可积的波函数. 在任何情况下,  或    都不能表示粒子的态. 这些函数仅仅是在对波函数    进行运算时, 很方便的一些工具, 而波函数才是描述物理状态的函数. 在经典光学中我们也遇到过类似的情况, 在那里, 单色平面波是一种极为方便的模型, 但在物理上它是永远不能实现的; 即使选择性最好的滤光片所滤过的也是某一频带    中的光, 这个频带可能很窄, 但绝不为零. 对于函数    来说, 也是一样. 我们可以设想一个平方可积的波函 数, 它定域在点    附近, 例如   , 其中    是这样一种函数: 它的中心在点    (或   , 或    ) 处, 它具有宽度为    、高度为    的峰, 并保持     . 当    时,   , 但后者不再是平方可积的了. 实际上, 对应于这种极限情况的物理状态是不可能实现的; 不管粒子处于位置多么确切的物理状态,    也绝不等于零.

c. 推广: 连续的 “正交归一' 基

. 定义

将前面的结果加以推广, 我们称    的函数的一个集合    为连续 的 “正交归一” 基, 它以连续指标    为标记, 并满足下列的所谓正交归一和封闭性关系式

附注:

(i) 如果   , 则    是发散的, 故   .

(ii) 和前面例子中的    和    相似,    可以代表若干个指标.

(iii) 我们也可以设想这样一个基, 它既包含用离散指标做标记的函数   , 又包含用连续指标做标记的函数   . 这时,    的集合并不构成一个基, 为了构成一个基还必须补充以    的集合. 以后我们将会看到, 粒子在与时间无关的势场中运动时, 其定态波函数的集合便构成一个基. 当  E<0  时, 能级是离散的, 与它对应的是平方可积的波函数, 用离散的指标来标记. 但是, 可能的定态并不只是这一类, 对于一切  E>0  的值, 也有有界的解, 这些解延伸到整个空间, 它们不是平方可积的.

在由离散基和连续基构成的一个 “混合的” 基    中, 正交归一关系式为:

封闭性关系式则为

我们总可以写

将 (54) 式中的    代入此式, 并且承认    和    可以交换, 便 得到

或将它写作

式中

公式 (59) 表示, 每一个波函数    都可唯一地按诸函数    展开, 按照公式 (60),    在    上的分量    等于标量积   .

. 将标量积和模方表示为分量的函数

假设    和    是两个平方可积函数, 它们在    上的分量是已知的

它们的标量积可计算如下:

其中最后一个积分可用 (53) 式表示, 于是

也就是

作为一个特例, 有

因此, 前面所有公式都可以推广, 为此只须利用表 (II-3) 中的对应关系.

我们将本节中已经建立的最重要的公式集中在下表中. 其实, 没有必要按这种形式来记忆; 因为以后我们会知道, 引入狄拉克符号后, 就很容易将 它们重新推导出来.

资料来源：科恩《量子力学》第一卷第二章