专题03 一元一次方程 【思维导图】 【知识要点】 知识点一 一元一次方程的基础 等式的概念:用等号表示相等关系的式子。 注意: 1.等式可以是数字算式,可以是公式、方程,也可以是运算律、运算法则等。 2.不能将等式和代数式概念混淆,等式含有等号,表示两个式子相等关系,而代数式不含等号,你只能作为等式的一边。 方程的概念:含有未知数的等式叫做方程。 特征:它含有未知数,同时又是—个等式。 一元一次方程的概念:只含有一个未知数(元),未知数的次数都是1的方程叫做一元一次方程。 标准形式:ax+b=0(x为未知数,a、b是已知数且a≠0) 【特征】 1. 只含有一个未知数x 2. 未知数x的次数都是1 3. 等式两边都是整式,分母中不含未知数。 方程的解的概念:能使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫方程的解。一元方程的解又叫根。 知识点二 等式的性质(解一元一次方程的基础) 等式的性质1:等式两边(或减)同一个数(或式子),结果仍相等。 表示为:如果a=b,则a±c=b±c 等式的性质2:等式两边乘同一个数,或除以同一个不为零的数,结果仍相等。 表示为:如果 a=b,那么ac = bc 【注意事项】 1.等式两边都要参加运算,并且是同一种运算。 2.等式两边加或减,乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子。 3.等式两边不能都除以0,即0不能作除数或分母. 4. 等式左右两边互换,所得结果仍是等式。 知识点三 解一元一次方程 合并同类项 把若干能合并的式子的系数相加,字母和字母的指数不变,起到化简的作用。 移项 把等式一边的某项变号后移到另一边,叫做移项。(依据:等式的性质1) 去括号 括号前负号时,去掉括号时里面各项应变号。 去分母 在方程的两边都乘以各自分母的最小公倍数。去分母时不要漏乘不含分母的项。当分母中含有小数时,先将小数化成整数。 解一元一次方程的基本步骤: 知识点四 实际问题与一元一次方程 用方程解决实际问题的步骤: 审:理解并找出实际问题中的等量关系; 设:用代数式表示实际问题中的基础数据; 列:找到所列代数式中的等量关系,以此为依据列出方程; 解:求解; 验:考虑求出的解是否具有实际意义; 答:实际问题的答案. 【考查题型】 考查题型一 一元一次方程概念的应用 【解题思路】关键是根据一元一次方程的概念和其解的概念解答. 典例1.(四川中考真题)关于的一元一次方程的解为,则的值为( ) A.9 B.8 C.5 D.4 【详解】 解:因为关于x的一元一次方程2xa-2+m=4的解为x=1, 变式1-1.(内蒙古中考真题)关于的方程如果是一元一次方程,则其解为_____. 【详解】 解:关于的方程如果是一元一次方程, ,即或, 方程为或, 解得:或, 当2m-1=0,即m=时, 方程为 解得:x=-3, 变式1-2.(四川南充市·中考真题)关于的一元一次方程的解为,则的值为( ) A.9 B.8 C.5 D.4 【答案】C 【分析】根据一元一次方程的概念和其解的概念解答即可. 【详解】解:因为关于x的一元一次方程2xa-2+m=4的解为x=1, 考查题型二 解一元一次方程 【解题思路】解一元一次方程的一般步骤:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1,这仅是解一元一次方程的一般步骤,针对方程的特点,灵活应用,各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转化. 典例2.(重庆中考真题)解一元一次方程时,去分母正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据等式的基本性质将方程两边都乘以6可得答案. 【详解】解:方程两边都乘以6,得:3(x+1)=6﹣2x,故选:D. 变式2-1.(湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题)在实数范围内定义运算“☆”:,例如:.如果,则的值是( ). A. B.1 C.0 D.2 【答案】C 【分析】根据题目中给出的新定义运算规则进行运算即可求解. 【详解】解:由题意知:, 又, ∴, ∴. 故选:C. 变式2-2.(四川凉山彝族自治州·中考真题)解方程: 【答案】 【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1,依此即可求解. 【详解】解: 【配套问题解题关键】配套问题的物品之间具有一定的数量关系,依次作为列方程的依据. 【工程问题解题关键】常把总工作量看做1,并利用“工作量=人均效率×人数×时间”的关系考虑问题 典例3.(哈尔滨市模拟)某车间有27名工人,每个工人每天生产64个螺母或者22个螺栓,每个螺栓配套两个螺母,若分配x个工人生产螺栓,其他工人生产螺母,恰好使每天生产的螺栓和螺母配套,则下列所列方程中正确的是( ) A.22x=64(27﹣x) B.2×22x=64(27﹣x) C.64x=22(27﹣x) D.2×64x=22(27﹣x) 【答案】B 【分析】设分配x名工人生产螺栓,则(27﹣x)名生产螺母,根据每天生产的螺母数量=2倍的螺栓数量,可得出方程. 【详解】解:设分配x名工人生产螺栓,则(27﹣x)名生产螺母, ∵一个螺栓套两个螺母,每人每天生产螺母64个或螺栓22个,∴可得2×22x=64(27﹣x).故选:B. 变式3-1.(黑哈尔滨市二模)某车间有22名工人,每人每天可生产1200个螺钉或2000个螺母,1个螺钉需配2个螺母,为使生产的螺钉和螺母刚好配套,若设x名工人生产螺钉,依题意列方程为( ) A.1200x=2000(22﹣x) B.1200x=2×2000(22﹣x) C.1200(22﹣x)=2000x D.2×1200x=2000(22﹣x) 【答案】D 【分析】首先根据题目中已经设出每天安排x个工人生产螺钉,则(22-x)个工人生产螺母,由1个螺钉需要配2个螺母,可知螺母的个数是螺钉个数的2倍,从而得出等量关系,就可以列出方程. 【详解】解:设每天安排x个工人生产螺钉,则(22-x)个工人生产螺母,利用一个螺钉配两个螺母.由题意得:2×1200x=2000(22-x),即2×1200x=2000(22-x),故选D. 变式3-2.(山西阳泉市模拟)在中国数学名著《九章算术》中,有这样一个问题:“今有共买牛,七家共出一百九十,不足三百三十;九家共出二百七十,盈三十. 问家数、牛价各几何?”大意是:几家人凑钱合伙买牛,如果每7家共出190元,那么还缺少330元钱;如果每9家共出270元,又多了30元钱.问共有多少人家,每头牛的价钱是多少元?若设有x户人家,则可列方程为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据“如果每7家共出190元,那么还缺少330元钱;如果每9家共出270元,又多了30元钱”,可得每头牛的价钱是或,即可得出关于x的方程. 【详解】解:∵如果每7家共出190元,那么还缺少330元钱, ∴每头牛的价钱是; ∵如果每9家共出270元,又多了30元钱, ∴每头牛的价钱又可以表示为, ∴可列方程为:, 故选A. 变式3-3.(广西南宁市一模)某班组每天需生产50个零件才能在规定的时间内完成一批零件任务,实际上该班组每天比计划多生产了6个零件,结果比规定的时间提前3天并超额生产120个零件,若设该班组要完成的零件任务为x个,则可列方程为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】关系式为:零件任务÷原计划每天生产的零件个数-(零件任务+120)÷实际每天生产的零件个数=3,把相关数值代入即可求解. 【详解】 解:实际完成的零件的个数为x+120,实际每天生产的零件个数为50+6, 故选C. 变式3-4.(浙江杭州市·中考真题)已知九年级某班30位同学种树72棵,男生每人种3棵,女生每人种2棵,设男生x人,则 ( ) A. B. B.C. D. 【答案】D 【分析】先设男生x人,根据题意可得. 【详解】男生x人,则女生有(30-x)人,由题意得:,故选D. 变式3-5.(哈尔滨市模拟)甲队有工人96人,乙队有工人72人,如果要求乙队的人数是甲队人数的,应从乙队调多少人去甲队?如果设应从乙队调人到甲队,列出的方程正确的是( ) A.B.C.D. 【答案】C 【分析】根据等量关系:乙队调动后的人数=甲队调动后的人数,列出一元一次方程即可. 【详解】设应从乙队调x人到甲队,此时甲队有(96+x)人,乙队有(72-x)人, 根据题意可得:(96+x)=72-x.故选C. 考查题型四 销售盈亏问题 销售金额=售价×数量 利润= 商品售价-商品进价 利润率=(利润÷商品进价)×100% 现售价 = 标价×折扣 售价 = 进价×(1+利润率) 典例4.(长沙市一模)随着传统节日“端午节”临近,某超市决定开展“欢度端午,回馈顾客”的活动,将进价为120元一盒的某品牌粽子按标价的8折出售,仍可获利20%,则该超市该品牌粽子的标价为__元.( ) A.180 B.170 C.160 D.150 【答案】A 【分析】设该超市该品牌粽子的标价为x元,则售价为80%x元,根据等量关系:利润=售价﹣进价列出方程,解出即可. 【详解】解:设该超市该品牌粽子的标价为x元,则售价为80%x元, 由题意得:80%x﹣120=20%×120, 解得:x=180. 即该超市该品牌粽子的标价为180元. 故选:A. 变式4-1.(广东深圳市模拟)某商贩在一次买卖中,以每件元的价格卖出两件衣服,其中一件盈利,另一件亏损,在这次买卖中,该商贩( ) A.不赔不赚 B.赚元 C.赔元 D.赚元 【答案】C 【分析】设盈利上衣成本x元,亏本上衣成本y元,由题意得:135-x=25%x;y-135=25%y;求出成本可得. 【详解】设盈利上衣成本x元,亏本上衣成本y元,由题意得135-x=25%x 变式4-2.(长沙市二模)中国总理李克强2020年6月1日考察山东时表示,地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源,是人间的烟火,和“高大上”一样,是中国的生机.市场、企业、个体工商户活起来,生存下去,再发展起来,国家才能更好!为了响应党中央、国务院的号召,各地有序开放了“地摊经济”、“马路经济”,长沙某地摊摊主将进价为10元的小商品提价100%后再6折销售,该小商品的利润率( ) A.40% B.20% C.60% D.30% 【答案】B 【分析】设该小商品的利润率为x,根据利润=售价﹣进价,即可得出关于x的一元一次方程,解之即可得出结论. 【详解】解:设该小商品的利润率为x, 依题意,得:10×(1+100%)×0.6﹣10=10x, 解得:x=0.2=20%. 故选:B. 比赛总场数=胜场数+负场数+平场数 比赛总积分=胜场积分+负场积分+平场积分 典例5.(大庆市模拟)篮球比赛规定:胜一场得3分,负一场得1分,某篮球队共进行了6场比赛,得了12分,该队获胜的场数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】B 【分析】解答此题可设该队获胜x场,则负了(6-x)场,根据总分=3×获胜场数+1×负了的场数,即可得出关于x的一元一次方程,解之即可得出结论. 【详解】设该队获胜x场,则负了(6-x)场. 根据题意得3x+(6-x)=12, 解得x=3. 经检验x=3符合题意. 故该队获胜3场. 故选B. 变式5-1.(武汉市模拟)一张试卷有25道选择题,做对一题得4分,做错一题得-1分,某同学做完了25道题,共得70分,那么他做对的题数是( ) A.17道 B.18道 C.19道 D.20道 【答案】C 【分析】设作对了x道,则错了(25-x)道,根据题意列出方程进行求解. 【详解】设作对了x道,则错了(25-x)道,依题意得4x-(25-x)=70,解得x=19 故选C. 变式5-2.(广东深圳市模拟)在2018﹣2019赛季英超足球联赛中,截止到3月12号止,蓝月亮曼城队在联赛前30场比赛中只输4场,其它场次全部保持不败.共取得了74个积分暂列积分榜第一位.已知胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分,设曼城队一共胜了x场,则可列方程为( ) A.3x+(30﹣x)=74 B.x+3 (30﹣x)=74 C.3x+(26﹣x)=74 D.x+3 (26﹣x)=74 【答案】C 【分析】根据题意分析,可以设曼城队一共胜了x场,则平了(30-x-4)场,找出等量关系:总积分=3×获胜场数+1×踢平场数,即可得出关于x的一元一次方程,此题得解. 【详解】设曼城队一共胜了x场,则平了(30﹣x﹣4)场, 依题意,得:3x+(30﹣x﹣4)=74, 即3x+(26﹣x)=74.故选:C. 考查题型六 方案选择问题 结合实际,分情况讨论,给出合理建议。 典例6.(北京朝阳区二模)某便利店的咖啡单价为10元/杯,为了吸引顾客,该店共推出了三种会员卡,如下表: 例如,购买A类会员卡,1年内购买50次咖啡,每次购买2杯,则消费40+2×50×(0.9×10)=940元. 若小玲1年内在该便利店购买咖啡的次数介于75~85次之间,且每次购买2杯,则最省钱的方式为 A.购买A类会员卡 B.购买B类会员卡 C.购买C类会员卡 D.不购买会员卡 【答案】C 【分析】设一年内在便利店购买咖啡x次,用x表示出购买各类会员年卡的消费费用,把x=75、85代入计算,比较大小得到答案. 【详解】解:设一年内在便利店购买咖啡x次, 变式6-1.(2019哈尔滨市模拟)某校在举办“读书月”的活动中,将一些图书分给了七年一班的学生阅读,如果每人分3本,则剩余20本:如果每人分4本,则还缺25本.若设该校七年一班有学生x人,则下列方程正确的是( ) A.3x﹣20=24x+25 B.3x+20=4x﹣25 C.3x﹣20=4x﹣25 D.3x+20=4x+25 【答案】B 【分析】如果每人分 3 本,则剩余 20 本,此时这些图书的数量可表示为3x+20;如果每人分 4 本,则还缺25本,此时这些图书的数量可表示为4x-25,据此列出方程即可. 【详解】解:根据题意可得:3x+20=4x﹣25. 故选B. 变式6-2.(山西大同市模拟)寒假期间,小刚组织同学一起去看科幻电影《流浪地球》,票价每张45元,20张以上(不含20张)打八折,他们一共花了900元,则他们买到的电影票的张数是( ) A.20 B.22 C.25 D.20或25 【答案】D 【分析】本题分票价每张45元和票价每张45元的八折两种情况讨论,根据数量=总价÷单价,列式计算即可求解. 【详解】 ①若购买的电影票不超过20张,则其数量为900÷45=20(张); ②若购买的电影票超过20张, 设购买了x张电影票, 根据题意,得:45×x×80%=900, 解得:x=25; 综上,共购买了20张或25张电影票; 故选D. 考查题型七 顺逆流问题 船在顺水中的速度=船在静水中的速度+水流速度 船在逆水中的速度=船在静水中的速度—水流速度 船顺水的行程=船逆水的行程 典例7.(哈尔滨市二模)一轮船从甲码头到乙码头顺水航行,用了小时,从乙码头到甲码头逆水航行,用了小时.已知水流速度为千米时,设轮船在静水中的速度为千米时,根据题意可列方程为( ) A.B.C.D. 【答案】B 【分析】顺流:速度=船在静水中的速度+水流的速度; 逆流:速度=船在静水中的速度-水流的速度. 【详解】在顺流和逆流航行过程中不变的是路程:路程=速度时间 顺流路程= 逆流路程= 所以:=,选B. 变式7-1.(盐城市模拟)轮船沿江从A港顺流行驶到B港,比从B港返回A港少用3小时,若船速为26千米/时,水速为2千米/时,求A港和B港相距多少千米.设A港和B港相距x千米.根据题意,可列出的方程是:( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】轮船沿江从A港顺流行驶到B港,则由B港返回A港就是逆水行驶,由于船速为26千米/时,水速为2千米/时,则其顺流行驶的速度为26+2=28千米/时,逆流行驶的速度为:26-2=24千米/时.根据“轮船沿江从A港顺流行驶到B港,比从B港返回A港少用3小时”,得出等量关系:轮船从A港顺流行驶到B港所用的时间=它从B港返回A港的时间-3小时,据此列出方程即可. 【详解】解:设A港和B港相距x千米,由题意可得方程:,故选A. 变式7-2.(河北模拟)沿河两地相距S千米,船在静水中的速度为 a千米/时,水流速度为b千米/时,船往返一次所需时间是( ) A.小时 B.小时 C.()小时 D.()小时 【答案】D 【解析】解:船往返一次所需时间=顺水航行时间+逆水航行时间=.故选D. 考查题型八 数字问题的应用题 ② 一个两位数,十位数字是a,个位数字是b,那么这个数可表示为10a+b ②一个三位数,百位数字是x, 十位数字是y,个位数字是z,那么这个数可表示为100x+10y+z 典例8.(江苏盐城市中考真题)把这个数填入方格中,使其任意一行,任意一列及两条对角线上的数之和都相等,这样便构成了一个“九宫格”.它源于我国古代的“洛書”(图),是世界上最早的“幻方”.图是仅可以看到部分数值的“九宫格”,则其中的值为:( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据题意求出“九宫格”中的y,再求出x即可求解. 【详解】如图,依题意可得2+5+8=2+7+y解得y=6 ∴8+x+6=2+5+8解得x=1故选A. 变式8-1.(浙江金华市中考真题)如图,在编写数学谜题时,“□”内要求填写同一个数字,若设“□”内数字为x,则列出方程正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】直接利用表示十位数的方法进而得出等式即可. 【详解】解:设“□”内数字为x,根据题意可得: 变式8-2.(浙江模拟)将连续的奇数1,3,5,7,9,…排成如图所示的数表,则十字形框中的五数之和能等于2012吗?能等于2015吗?( ) A.能,能 B.能,不能 C.不能,能 D.不能,不能 【答案】C 【分析】设中间的一个数为x,建立方程求出x的值就可以得出结论. 【详解】解:设中间的一个数为x,则其余的4个数分别为x-2,x+2,x-10,x+10, 当时,. 当时,. 综上说述,五数之和不能等于2012,能等于2015. 故选C. 考查题型九 行程问题(路程=速度*时间) 相遇问题:甲路程+乙路程=两地距离 追及问题:快者的行程-慢者的行程=初始距离 典例9.(内蒙古呼和浩特市中考真题)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载,“三百七十八里关;初日健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关.”其大意是;有人要去某关口,路程为378里,第一天健步行走,从第二天起,由于脚痛,每天走的路程都为前一天的一半,一共走了六天才到关口,则此人第一和第六这两天共走了( ) A.102里 B.126里 C.192里 D.198里 【答案】D 【分析】设第六天走的路程为x里,则第五天走的路程为2x里,依此往前推,第一天走的路程为32x里,根据前六天的路程之和为378里,即可得出关于x的一元一次方程,解之即可得出结论. 【详解】解:设第六天走的路程为x里,则第五天走的路程为2x里,依此往前推,第一天走的路程为32x里, 32x=192, 6+192=198, 故选D. 变式9-1.(山东东营市中考真题)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载:“ 三百七十八里关,初健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关”其大意是:有人要去某关口,路程里,第一天健步行走,从第二天起,由于脚痛,每天走的路程都为前一天的一半, 一共走了六天才到达目的地.则此人第三天走的路程为( ) A.里 B.里 C.里 D.里 【答案】B 【分析】根据题意可设第一天所走的路程为,用含的式子分别把这六天的路程表示出来,相加等于总路程378,解此方程即可. 【详解】解:设第一天的路程为里 ∴ 解得 ∴第三天的路程为 故答案选B 变式9-2.(广西玉林市模拟)小元步行从家去火车站,走到 6 分钟时,以同样的速度回家取物品,然后从家乘出租车赶往火车站,结果比预计步行时间提前了3 分钟.小元离家路程S(米)与时间t(分钟)之间的函数图象如图,从家到火车站路程是( ) A.1300米 B.1400米 C.1600米 D.1500米 【答案】C 【分析】根据图象求出小元步行的速度和出租车的速度,设家到火车站路程是x米,然后根据题意,列一元一次方程即可. 【详解】解:由图象可知:小元步行6分钟走了480米 ∴小元步行的速度为480÷6=80(米/分) ∵以同样的速度回家取物品, ∴小元回家也用了6分钟 ∴小元乘出租车(16-6-6)分钟走了1280米 ∴出租车的速度为1280÷(16-6-6)=320(米/分) 设家到火车站路程是x米 由题意可知: 解得:x=1600 故选C. |
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