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这是六年级上册的百分数问题，如：要把浓度为40%的糖水400克，变为浓度为50%的糖水，你打算怎么办？说说你的办法。 学生很快就说出操作的方法，要么向400克糖水里加糖提高浓度到50%，要么蒸发这400克糖水中的水提升浓度到50%。当向糖水里加糖时，利用水的质量不变的道理便可以求出加糖的质量，即400×（1-40%）=240（克），240÷50%=480（克），480-400=80（克）；当利用蒸发水来提升浓度时，利用盐的质量不变的道理便可以求出蒸发水的质量，即400×40%=160（克），160÷50%=320（克），400-320=80（克）。 只有这两种改变糖水浓度的方法吗？学生思考许久后提示，能不能向该糖水里加入更高浓度的糖水？如果可以，你认为应该加入浓度为多少的糖水多少克呢？此时出现了两个未知的量：加入糖水的浓度和加入糖水的质量，如果设两个未知数列方程，学生不会解答，如果用算术方法解答，一时找不到头绪。怎么办？ 确实，从正面进行突破难度不小，能不能想办法从侧面打开局面呢？ 现在400克糖水的浓度为40%，如果再加入400克糖水，把它变成浓度为50%的糖水，那么再次加入的这400克糖水的浓度为多少呢？学生的灵感来的真快！再次加入的这400克糖水的浓度为60%。为什么？因为（60%+40%）÷2=50%。检验一下是否正确，学生给出算式：400×40%=160（克），400×60%=240（克），（240+160）÷（400+400）=400÷800=50%。学生十分兴奋！ 如果再加入的糖水是200克，那么它的浓度是多少呢？一部分还是认为浓度为60%，但经过检验不正确；一部分认为浓度为80%，但经过检验也不正确。但在检验的过程中，他们发现加入200克浓度为60%的糖水时，配制的糖水浓度比50%低；加入200克浓度为80%的糖水时，配制的糖水浓度比50%高。于是猜测加入的糖水浓度为70%，经过检验十分正确。 这到底有怎样的规律呢？ 有一部分学生想到了用字母x表示加入的糖水质量，则总的糖水质量就为（400+x）克，而此时糖水的浓度为50%，所以此时糖的质量就是（400+x）×50%=200+0.5x，就比原来糖的质量多200+0.5x-400×40%=0.5x+40（克）。这样就找到了加入糖水中的糖与糖水质量之间的关系，因此在加入的200克糖水中应含糖0.5x+40=140（克），所以加入的糖水浓度为140÷200=0.7=70%。注意，这里的x应大于80克，学生经过讨论完全可以理解。 有了这样一个规律，不论再次加入的糖水多少克（>80），我们都能找到加入该糖水的浓度，这便是从特殊到一般、从个别到普遍的过程，经历这样的过程便可以实现对问题的深度理解，达到掌握问题本质的目的，同时也提升了分析问题、解决问题的能力。 |
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