初中数学几何专题：截长补短

初中数学几何专题：截长补短，

3．如图，已知DE＝AE，点E在BC上，AE⊥DE，AB⊥BC，DC⊥BC，请问线段AB，CD和线段BC有何大小关系？并说明理由．

解：线段AB，CD和线段BC的关系是：

BC＝AB＋CD.

理由：在△DCE中，

∠EDC＋∠DEC＝90°，

∵∠AEB＋∠DEC＝90°，

∴∠AEB＝∠EDC，

又∵ED＝AE，∠ABE＝∠ECD＝90°，

∴△ABE≌△ECD(AAS)，

∴AB＝EC，BE＝CD，

∴BC＝BE＋EC＝CD＋AB.

4．如图，AB∥CD，BE，CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线，点E在AD上．

求证：BC＝AB＋CD.

证明：在BC上取点F，使BF＝BA，连接EF，如图，

∵BE，CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线，

∴∠ABE＝∠FBE，∠ECF＝∠ECD.

∴△ABE≌△FBE(SAS)，

∴∠A＝∠BFE，

∵AB∥CD，

∴∠A＋∠D＝180°，

∴∠BFE＋∠D＝180°.

∵∠BFE＋∠EFC＝180°，

∴∠EFC＝∠D.

∴△CDE≌△CFE(AAS)，

∴CF＝CD.

∵BC＝BF＋CF，

∴BC＝AB＋CD.

5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝AC，∠B＝∠CAB＝45°，AD平分∠BAC交BC于D，

求证：AB＝AC＋CD.

证明：如图，延长AC到E，使CE＝CD，连接DE.

则∠E＝∠CDE＝45°，

∴∠B＝∠E.

∵AD平分∠BAC，

∴∠1＝∠2，

在△ABD和△AED中，

∠B＝∠E，∠2＝∠1，AD＝AD，

∴△ABD≌△AED(AAS)．

∴AE＝AB.∵AE＝AC＋CE＝AC＋CD，∴AB＝AC＋CD.

6．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB，AD，CE交于O.

(1)求∠AOC的度数；

(2)求证：AC＝AE＋CD.

(1)解：∵∠ABC＝60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB，

∴∠AOC＝180°－(∠OAC＋∠OCA)＝180°－21(∠BAC＋∠ACB)＝180°－2180°－60°＝120°；

(2)证明：∵∠AOC＝120°，

∴∠AOE＝60°，如图，在AC上截取AF＝AE，连接OF，

∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，

∵AO＝AO，∴△AOE≌△AOF(SAS)，∴∠AOE＝∠AOF，

∵∠AOE＝60°，∠AOC＝120°，

∴∠AOF＝∠COD＝∠COF＝60°.

∵∠FOC＝∠DOC，CO＝CO，∠DCO＝∠FCO，

∴△COF≌△COD(ASA)，∴CF＝CD，∴AC＝AF＋CF＝AE＋CD.