消元法[解决数学方程组等问题的方法]

消元法

消元法

解决数学方程组等问题的方法

消元法是指将许多关系式中的若干个元素通过有限次地变换，消去其中的某些元素，从而使问题获得解决的一种解题方法。

基本信息

中文名	消元法
外文名	Elimination method
学科	数学
应用	解方程组、代数问题、几何问题等
拼音	Xiāo yuán fǎ
隶属	科学

科普中国权威合作机构

尚华娟副教授审阅专家

上海财经大学

分类

消元法主要有代入消元法、加减消元法、整体消元法、换元消元法、构造消元法、因式分解消元法、常数消元法、利用比例性质消元法等。

其中最常用的为代入消元法和加减消元法。

代入消元法

代入消元法简称代入法，是将方程组中的一个方程的未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代入到另一个方程中去，这就消去了一个未知数，得到一个解。

代入消元法解二元一次方程组的步骤如下：

1.从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来；

2.把第1步中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数；

3.解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值；

4.把所求得的一个未知数的值代入第1步中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解。

加减消元法

加减消元法是指利用等式的性质使方程组中两个方程中的某一个未知数前的系数的绝对值相等，然后把两个方程相加或相减，以消去这个未知数，使方程只含有一个未知数而得以求解。

加减消元法解二元一次方程组的步骤如下：

1.利用等式的基本性质，将原方程组中某个未知数的系数化成相等或相反数的形式；

2.再利用等式的基本性质将变形后的两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程（一定要将方程的两边都乘以同一个数，切忌只乘以一边，然后若未知数系数相等则用减法，若未知数系数互为相反数，则用加法）；

3.解这个一元一次方程，求出未知数的值；

4.将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程中，求出另一个未知数的值；

5.联立两个未知数的值，就是方程组的解；

6.最后检验求得的结果是否正确（代入原方程组中进行检验，方程是否满足左边的数等于右边的数）。

解题要点

1.把条件写成几个等式，并排列在一起进行比较，如果有一种量的数相同，就很容易把这种量消去。

2.如果两种量的数都不相同，可以用一个数去乘等式的两边，使其中的一个量的数相同，然后消去这个量。

3.解答后，可以把结果代入条件列出的每一个等式中计算，检验是否符合题意。

相关计算

例1.聪明兔花1800元买了4件风衣和3条裤子。又花了1200元给兔弟弟买了同样的2件风衣和3条裤子。你能算出风衣和裤子各是多少钱吗？

解：由题可知，4件风衣+3条裤子=1800（元）；2件风衣+3条裤子=1200（元）。

风衣：

（元）；裤子：

（元）。所以风衣每件300元，裤子每件200元。

例2.小明要为邻居大婶看管鸡和兔，大婶告诉他：算头共有50只，算脚共有140只。大婶家有多少只鸡，多少只兔？

解：设鸡有

只，兔有

只，根据题意列方程组得：

。由①得

，再将③代入②，得

，最后解得

。所以鸡有30只，兔有20只。

例3.解方程。

解：由方程可知，

①+② 可得，

即

由此可得

再把

代入

可得

教学应用

设法把含有多个未知数的多个方程，转化为含有一个未知数的一个方程，先求出一个未知数，再逐步扩大“战果”，求出其余的未知数，这是善于思考者很顺畅的思考结果，而它就是“消元”的思想。从培养良好的思维习惯和方法的角度看，引导学生产生和理解消元思想，使其逐步感受合理思考问题的作用，在这部分教学中是至关重要的。它是学生自觉、主动地理解和掌握代入法、加减法等具体解法的基础，也是避免死记硬背解法程序的关键。

在实际教学中，学生往往关注的是如何消元，而不注意消元后得出的未知数值是否一定适合原方程组，也不关注原方程组是否有解被消元法被漏掉。这种现象自然与对方程组的同解理论缺乏深入认识有关。教师应进行适当引导，弥补思维过程中的空缺。为此，教学中可以适当渗透消元法的合理性，这有助于培养学生思维的缜密性。例如，刚开始消元法时，对得出的结果可以适当进行检验，从而使学生通过实例认识到方法的可靠性。