 将军饮马问题 上次的思考题有个流传更广的故事版本： 将军饮马  古希腊时期亚历山大城里有位数学家、工程师海伦（Heron of Alexandria）。数学中有个“已知三边长求三角形面积”的海伦公式，就是以他的名字命名的。 相传有一天，一位将军向他请教了一个问题：从河的一侧A地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到B地，如何确定饮马的地点使得走的路线最短？ 海伦略加思索，巧妙地解决了这个问题。 我们把这个故事抽象成数学问题，A、B两地抽象为两点，笔直的河抽象为一条直线，那么问题就是： 在直线l上找出一点C，使得C点到A、B两点的距离和即AC+BC最小。  如果A、B两点在直线l的两侧就非常简单，连接两点，线段AB与直线l交点C就是所求点，因为这时AC+BC就等于线段AB，而关于线段有个公理是什么？ 两点之间，线段最短。 如果A、B两点在直线l的同一侧，直接连接两点显然不行，马儿还没去河边喝水，怎么办呢？ 把A点沿直线镜像过去，连接对称点和B点。 为什么这样就最短呢？ 就是感觉吧。 你的感觉是对的，不过我们要学着去作出合理的解释。  A'是A关于直线l的对称点，那么根据轴对称的性质，AC=A'C，所以AC+BC=A'C+BC，问题就等价于从另一侧的对称点A'经过直线上一点C再到B，而在两侧的问题刚刚我们已经解决了。 和之前篱笆围绿地的问题一样，通过轴对称我们把新的问题转化了已经解决的问题。以后碰到新的几何问题，你也可以尝试利用对称性去思考。 什么是轴对称 小学四年级时你们通过折一折、画一画已经直观地认识了轴对称，那你能说说到底什么是轴对称吗？ 折过去以后图形完全重合吧。 没错，一个平面图形沿一条直线翻折后与另一个图形完全重合，那么这两个图形就关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，重合的两个对应点叫对称点，能够完全重合的两个图形我们叫全等形。  如下图，对称点AA'的连线与对称轴的交点为P。根据轴对称的定义，翻折过去后，AA'重合，所以AP=A'P，即P为AA'的中点。 同时∠1和∠2也完全重合了，所以∠1=∠2，而∠1+∠2是平角180°，所以∠1=∠2=90°，即AA'垂直于对称轴。 对于其他对称点，同理可以得出： 对称轴经过对称点所连线段的中点，并且垂直于该线段。  经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也称为中垂线。于是，我们就得到了图形轴对称的性质：  垂直平分线我会画！ 初中的尺规作图和小学时候不一样哦，只能用没有刻度的直尺和圆规。 我知道，《Euclidea》游戏里就有，其实就是上次作等边三角形的方法，两个圆上下各有一个交点，两个交点连线就可以啦！  为什么这样作出的直线CD就是线段AB的垂直平分线呢？ AC=BC，AD=BD，这不是非常对称吗？ 如果CD是对称轴，那么就有AC=BC，AD=BD。但是反过来有AC=BC，AD=BD，那么CD就是对称轴吗？实际上这是需要证明的，这是两个不同的问题。当然这个问题以后我们可以证明，所以这次你关于对称的直觉是正确的。 直接折过去不是显然就重合了吗？ 上次我们谈到过直觉的局限性，小学我们主要是通过直观的经验的方法，用类比和归纳的思维方式学习数学，逻辑推理相对比较少。到了初中，我们学习数学的思维方式会有比较大的转变。 什么是思维方式？ 我简单讲一讲类比和归纳。 类比思维 类比，就是由两个对象的某些相同或相似的性质，推断它们在其他性质上也有可能相同或相似的一种推理形式。 比如小学学习分数时，根据除法与分数的联系，由商不变的性质类比推出分数的基本性质，再往后还有比的基本性质。又比如类比正方形的面积公式推出长方形的面积公式。 数学史上，有很多重要的数学猜想是通过类比得到的。比如所有自然数倒数的平方和，数学家欧拉由有限情况类比无限的情况，最先给出了这个难题的正确答案，为了纪念欧拉的贡献，这个问题以欧拉家乡巴塞尔命名，也就是著名的巴塞尔问题。  类比可以帮助我们从熟悉的知识中找到与新知识的关联，更好地理解新知识，发现其中的规律提出猜想。 但是类比是从特殊到特殊的一种推理形式，推理的结论并不一定正确。举个例子吧，我们也曾由有限个数的运算法则类比无限，得到过下面的结论，结果是正确的。 但是，类比这个方法再计算下面的式子，无穷个正数加起来居然等于-1。这个结果显然是荒谬的，所以类比的结果还是需要通过严格的论证分析才能保证正确性。 归纳思维 归纳是从一系列具体的事实概括出一般原理。一年级的暑假给你出过一道题，还有印象吗？ 有一个数，先加9，和再乘9，积再减9，差再除以9，最后结果是9，那这个数是多少？ 太简单了，倒推。 9x9=81,81+9=90,90÷9=10,10-9=1 嗯，还记得当时你是怎么做的吗？你先猜这个数是9，算出结果是17；再猜是8，算出结果是16，于是你就猜测：开始这个数等于结果减去8。最后用1验算成立。 这就是归纳，通过特殊的几个算例总结其中的规律，提出猜想，最后进行验证。 哈哈，没印象了，那时怎么用这么笨的方法。 这个方法并不笨，对于具体这道题，确实没有倒推法简单，但是通过归纳总结出的是一般规律，可以解决一大类问题。比如我把问题中结果改成123456789，通过归纳猜测出的规律，你是不是马上就能得出答案是123456781。 现在你已经了解了一点代数的知识，就能从运算律验证你猜测的规律是正确的。 [(x+9)·9-9]÷9=(x+9)-1=x+8 嗯，确实是这样。 数学史上，有很多重要的数学猜想是通过归纳得到的。有些猜想通过证明成为了定理，比如费马大定理；有些猜想到现在还没有解决，比如哥德巴赫猜想。 归纳是从特殊到一般的推理形式，也不能保证结果的正确性。比如费马曾提出过一个猜想：所有费马数都是质数（素数）。 费马数就是以费马命名的一组自然数，形式如上图所示。费马验证了前五个费马数都是素数，于是提出了这个猜想。 直到100多年后，欧拉发现这个猜想是错误的。当n＝5时代入结果是4294967297，它等于641×6700417。 类比和归纳属于合情推理，运用我们的直觉和经验去发现数学中的规律，帮助我们提出猜想，而猜想的正确性需要逻辑严谨的演绎推理来保证。 我们学习平面几何很重要的目的就是学会如何有逻辑地进行演绎推理。演绎推理和类比、归纳并不是对立的。直觉引领我们前行的方向，逻辑帮我们扫除沿途的迷雾。 最后，给你布置个探索题： 圆上的 n 个点两两相连，最多可以把圆分成几个部分？ 如下图，n=1~3时结果分别是1,2,4。请你一边验证一边猜测其中的规律，一直到n=6。 鸡娃先自鸡 欣赏数学之美 感受数学之趣 分享数学之思 |
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