2023年四省联考早已尘埃落定,从反馈的信息来看,创新与难度再次出人意表。我尚未来得及清理整套试卷,所以无法给出合适的判断。有人说,这套试卷囊括了不少大学数学的内容,信息量极大。姑且这么认为,但我决定对此视而不见,尝试用大家习以为常的方式来理解。 首先引起我注意的是第21题——双曲线,看着挺面善。曾经,双曲线一度被人嫌弃;而如今,它无疑是最光彩夺目的,就像夜空中那颗最亮的星。这并非偶然,天下大势,不就是十年河东,又十年河西。 坦率说,我是蛮喜欢双曲线的,成双成对令人感到喜庆。为什么会联想到这个?一刹那的闪念,没来由。 第二问,调和分割——极点极线的内容。这个概念即便不知道也无所谓。既然考,一定不会是对这个概念的理解。证明与长度相关的问题,弦长公式自然是首选。唯一的障碍是用到了非对称韦达定理。不过,一个小小的和积转化,便可手到擒来。非对称韦达定理早已不是神话,破解的方法俯拾即是。但我最喜欢的是将其改造为对称形式。平面向量兼具代数运算与几何性质,与解析几何水乳交融,如何能熟视无睹。本题之中,四点共线,弦长的乘积很自然就转化为了数量积。当然,如果对直线的参数方程有所了解,借助参数方程求解亦可。这里从略。法2已然沁人心脾,但我仍不满意。本题勾起了一段回忆,那是2008年高考安徽卷的压轴题。当年那题是真的难,现在看来不过此。但它却提供了一种思路——定比分点。引入参数,利用定比分点公式,将双曲线上两点G、H的坐标用D、E两点的坐标表示出来;然后代入双曲线的方程,得到关于定比参数的一元二次方程;最后通过“同构”求得两参数满足的方程,进而得出两参数之间的关系。同构无疑是函数与方程思想的具体体现,一次同构为直线的方程,二次同构则借助韦达定理。值得一提的是,如果定比分点是D、E(不在曲线上),那么定必点差法将大显身手。为了不横生枝节,关于本题的背景,我不作罗嗦。点到为止的意犹未尽,胜过一知半解的兴味索然。
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