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今天我们来讨论一个有趣的问题： 无穷个虚数i的i次方等于多少？ i^i^I^…=？  首先强调，对于多重指数幂的运算，如果没有打括号，则代表从上往下算，而不是从下往上算！ a^b^c=a^(b^c) (a^b)^c=a^(bc) 假设i^i^I^…=x i^i^I^…=i^(i^I^i…)=i^x=x 再次强调，有朋友认为以上括号内的i的个数不是比原式少一个吗？ 实际上，对于无穷个是不能用有限个的思维来理解的。 ∞个i和∞-1个i本质上没有任何区别，都是∞个i。 问题转化为解方程： i^x=x  i^x=x 等式两边同时取自然对数 ln(i^x)=ln(x) xln(i)=ln(x)  前面我多次讲到过，利用欧拉公式 可以将i改写为e^(iπ/2) 欧拉公式：e^(iθ)=cos(θ)+isin(θ) 令θ=π/2 e^(iπ/2)=cos(π/2)+isin(π/2) =0+i×1=i i=e^(iπ/2)  ln(i)=ln[e^(iπ/2)]=(iπ/2)ln(e)=πi/2 ln(i)=πi/2  前面我们已经得出： xln(i)=ln(x) (1/x)ln(x)=ln(i)=πi/2 [x^(-1)]ln(x)=πi/2  根据对数恒等式：a=e^[ln(a)]  x^(-1)=e^{ln[x^(-1)]}=e^[-ln(x)] [x^(-1)]ln(x) ={e^[-ln(x)]}ln(x)=πi/2 {e^[-ln(x)]}[-ln(x)]=-πi/2  我们为什么要将方程变成如此复杂的形式呢？ 因为要想解出这个方程，必须利用到一个非常重要的函数——郞伯W函数。 我们将函数y=xe^x的反函数称为郞伯W函数，记作y=W(x)。 显然有，W(y)=x。 这个郞伯W函数的具体解析式是什么呢？ 答案有些令人意外，是无法表达！ 我们并不能求出郞伯W函数的具体解析式，但我们可以根据原函数与反函数关于y=x对称的性质画出郞伯W函数的图像。  郞伯W函数 {e^[-ln(x)]}[-ln(x)]=-πi/2 等式两边同时取郞伯W函数 W<{e^[-ln(x)]}[-ln(x)]>=W(-πi/2) -ln(x)=W(-πi/2)  -ln(x)=W(-πi/2) ln(x)=-W(-πi/2) x=e^[-W(-πi/2)]  最终我们解出了x 尽管我们并不知道郞伯W函数的具体解析式，但我们可以利用计算机，将-πi/2代入郞伯W函数计算出W(-πi/2)的取值，进而计算出x的取值。 i^i^I^…=x=e^[-W(-πi/2)] 最终我们求出了 i^i^I^…的值为e^[-W(-πi/2)] 郞伯W函数是一个求解方程很重要的函数，很多比较特殊的方程都可以利用郞伯W函数进行求解。 例如解方程：x^x=3 又比如解方程：x^y=y^x 大家不妨挑战一下以上两个方程。 |
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