【原】【高考数学】解题能力提升, 每日一题: 第648题，利用导数研究曲线问题

设函数f（x）=（ex﹣1）/x，

（1）求f（x）在x=1处的切线方程；

（2）证明：对任意a＞0，当0＜|x|＜ln（1+a）时，|f（x）﹣1|＜a．

解：（1）f'（x）={exx-（ex﹣1）}/x2，

f'（1）=1，f（1）=e﹣1，

∴f（x）在x=1处的切线方程为y﹣e+1=x﹣1，

即x﹣y+e﹣2=0

（2）证明：|f（x）-1|=|（ex﹣1-x）/x|=|ex﹣1-x|/|x|，

设ϕ（x）=ex﹣1﹣x，ϕ'（x）=ex﹣1，

ϕ'（x）＞0⇔x＞0，

故ϕ'（x）在（﹣∞，0）内递减，在（0，+∞）内递增，

∴ϕ（x）≥ϕ（0）=0即ex﹣1﹣x≥0，

当0＜|x|＜ln（1+a）时，

|f（x）﹣1|＜a⇔（ex﹣1﹣x）＜a|x|，

即当0＜x＜ln（1+a）时，

ex﹣1﹣（1+a）x＜0，（Ⅰ）

当﹣ln（1+a）＜x＜0时，

ex﹣1﹣（1﹣a）x＜0，（Ⅱ）

令函数g（x）=ex﹣1﹣（1+a）x，h（x）=ex﹣1﹣（1﹣a）x

注意到g（0）=h（0）=0，故要证（Ⅰ），（Ⅱ），

只需要证g（x）在（0，ln（1+a））内递减，

h（x）在（﹣ln（1+a），0）递增

当0＜x＜ln（1+a）时，g'（x）=ex﹣（1+a）＜eln（1+a）﹣（1+a）=0

当﹣ln（1+a）＜x＜0时，

h（x）=ex﹣（1-a）＞eln（1+a）﹣（1-a）=a2/（1+a）＞0

综上，对任意a＞0，当0＜|x|＜ln（1+a）时，|f（x）﹣1|＜a．

考点分析：

利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．

题干分析：

（1）求导数，确定切线的斜率，切点坐标，即可求f（x）在x=1处的切线方程；

（2）|f（x）-1|=|（ex﹣1-x）/x|=|ex﹣1-x|/|x|，构造函数，确定函数的单调性，即可证明结论．