【原】等腰三角形全等与线段最值综合探究，辅助线才是核心

已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，D，E分别是AB，AC上的点，点M是DE上的一点，.

(1)如图1，已知α＝60°，n＝1，作出点E关于点A成中心对称的点F，求证：DF＝DC；

(2)如图2，已知α＝60°，；

①求的值；②若AB＝4，则AM的最小值是　   　（直接写出结果）；

(3)如图3，已知α＝90°，n＝1，，则CD的最大值为　   　（直接写出结果）．

解：(1)如图所示，连接DF，在BC上取一点G，使BG=BD，△BDG为等边三角形；而BD=AE，AE=AF，故DG=AF；又BC=BA，得AD=CG，∠DAF=∠DGC=120°，故△ADF≌△GCD，故DF=DC

点评：全等的证明非常简单，属于送分问题.

(2)在CA延长线上取一点F，连接CF，在BC上取一点G，使BG=BD由(1)易知△ADF≌△GCD；得DF=DC,AM：DF=2：3，故AM=DC；

当CD取最小值时，AM取最小值，当CD⊥AB时，CD取最小值，CDmin=

点评：没有无缘无故的第(1)问，用第1问的方法可迅速解决问题；

(3)过点C作CF⊥AC且使CF=AE，连接EF，易知△ADE≌△CEF；取EF的中点G，连接DG、CG；

AM=，DE=2，EG=，DG=5,CG=,当C、G、D共线时，CD取最大值，5+

点评：条件变成等腰直角三角形，而相等线段的联想非常关键.

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