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FDU201401 设, ,求,其中表示的整数部分. 解 考虑关于的不等式: 再利用在处的保号性得到:两边同时令,由夹逼定理得到:FDU201402 计算累次积分. 解 交换积分次序得到 FDU201403 设二元函数在上二次连续可微,求的二阶微分. 解 由于函数二次连续可微,故偏导数交换次序后值相同,分别计算得到 其中 FDU201404 求 关于的阶导数.解 设题中函数为,则 依次类推,得到FDU201405 设都是中的连续函数,证明:存在,使得 证明 令,由Rolle中值定理知,存在,使得 于是有FDU201406 设二元函数的两个混合偏导数在附近存在,且在处连续,证明:. 证明 定义,由于函数存在关于的偏导数,所以可导,利用一元函数的中值定理得到: 其中,进一步由于存在关于的偏导数,考虑对再次应用一元函数的中值定理,于是得到其中,于是两边同时除以,并令,得到重复一次上述操作得到.FDU201407 证明含参变量积分在上不一致收敛,但在上连续. 证明 , 于是在上不一致收敛,下证明在上内闭一致收敛即可,固定,注意到,于是,对任意的,有 令,故在上连续. FDU201408 证明:若级数收敛(为正实数),则级数 也收敛.证明 设,则 解得, 由于部分和有界故级数收敛(其中倒数第二步放缩使用了Cauchy不等式). |
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