导数概念应用：一个公切线题目的神仙解法

例题：

若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是y=ln(x+1)的切线，求b。

分析：

公切线问题，设出两个切点坐标，然后利用切点在曲线上以及切线斜率等于导数值，联立方程组，肯定可以算出来。

不过观察本题中的两个曲线，显然是形状完全相同的曲线，都是由lnx的图像曲线平移而来。

第一条曲线是lnx向上平移2单位，而第二条曲线则是由lnx向左平移1个单位。另一个角度看，ln(x+1)实际上是由lnx+2向下平移2个单位再向左平移1个单位而来。由于lnx的导数各点均不等，即各点切线斜率均不相等，由平移后的两条对数曲线具有相同切线斜率可知，第一条曲线的切点显然按相同平移规则即移动到第二条曲线切点位置。由此，可大大地降低计算强度。

解：

由于y=ln(x+1)是由y=lnx+2向下平移2再向左平移1得到，

在公切线上，y=lnx+2的切点向下平移2再向左平移1即与y=ln(x+1)的切点相重合，

由于两个切点都在公切线上，显然k=2/1=2

由第一条曲线知道，k=2=1/x，因此其切点横坐标为x=1/2，纵坐标为ln(1/2)+2=2-ln2

过此切点的切线为y-(2-ln2)=2(x-1/2)

即y=2x-1+2-ln2=2x+1-ln2

显然b=1-ln2

在上述解法中，观察两条曲线均与lnx的图像之间的关系，即可快速得到公切线的斜率值，进而避免了解联立方程，用最快的速度得到问题的解答。

本例中的两条曲线及其公切线的相对位置如下图所示，供参考。