【解题研究】指对同构后如何全身而退

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指对同构是解决含参不等式（方程）问题中求参数取值范围的利器，一是可以简化式子结构，二是可以成功实现参变分离，使问题求解更直接.但在求解过程中，容易忽视“自变量”取值范围与新建函数单调区间的匹配，缺乏逻辑性，使得化简陷入简单形式化.而且指对同构有两种方式，各自对变量的取值要求不尽相同，更需要引起关注.我们知道，解决函数问题，定义域要优先考虑.同构之后，新函数定义域如何界定？完全依赖题干条件，还是扩大或压缩变量取值？如何做到变量取值与函数单调区间一致，合理利用新建函数的单调性，成功从对应法则之下实现变量“逃脱”？

一、问题提出：来自学生的疑惑

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为什么换了一种构造方式会得到不一样的结果呢？学生百思不得其解，便来问老师.分析以上求解，虽然函数的构建没有问题，但我们至少可以发现两个错误.一是已知不等式中的未知量取值范围与新建函数定义域是否一致？将不等式中的取值范围直接移植到新建函数中，这是错误产生的主要原因；二是即使套用题干范围作新函数的定义域，不等式能否用新建函数表达呢？忽视中间变量取值范围，盲目套用，这是产生错误的关键所在.由于这种问题主要以填空题出现，缺少解题过程，正好掩盖了逻辑推理，使得很多题即使盲目套用也不影响结果的正确性，而这就是问题产生的根源.

基于此，我们提出一个问题：在指对同构问题中，如何做到变量取值范围与新建函数的单调区间一致，使得问题求解顺理成章？根据解题实践分析，我们发现，指对同构问题中关于定义匹配，大致有四种基本类型，下面分别举例予以说明.

二、问题解决

1.同构之后变量取值与新建函数单调区间保持一致

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小结：不等式同构之后，新建函数自变量与题干中变量的取值保持一致，因此只需直接借助函数的单调性，将变量从对应法则下突围出来，得到问题表述的简洁方式.这种同构，为顺利求参数的取值范围，创造了直接可用载体.

2.同构之后需压缩变量取值范围

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小结：同构之后，直接应用题干中变量的取值范围新建函数，新变量范围增大，无法从函数单调性中突围，需要借助等量关系，或零点存在性定理，进一步压缩变量的取值范围，如将函数g(x)的零点界定在区间(0,1)内，就是借助同构函数突围的关键所在.

3.同构后需扩大新建函数自变量的取值范围​

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小结：同构之后，如果中间变量的取值范围超出题干，需要将新建函数的定义域扩大，在证明函数单调之后，再施行不等式的借壳上“式”和变量突围.

4.分类讨论分而治之

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小结：同构之后，中间变量分别落在新建函数的两个单调区间内，直接应用单调性无法突围，需要考虑对原不等式先行分类处理，一类先从取值入手，缩小讨论对象的范围，另一类再考虑从同构入手，将问题分而治之.

三、结论

同构是简单的构造方式，旨在发现不同对象间的密切联系，是考察学生数学眼光的重要载体，也是高中数学课程性质中“引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界^[2]”的数学体现.但同构也有风险，尤其是指对同构.指对同构之后必然回归函数处理，不同函数有各自不同的定义要求，因此选择与要求匹配的函数，是指对同构需要重点关注的问题.始终抓住定义域和中间变量的取值范围，取值一致是套用函数表示和利用单调性成功突围的关键，形式化是表象，本质才是关键，二者统一，才能确保求解万无一失.

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