高数问答64 |x|的原函数

问题 怎样求绝对值函数的不定积分：？

答   首先我们注意到绝对值函数在上连续，由原函数存在定理，它的不定积分一定存在。

我们已经知道分段函数虽然不是非初等函数，但我们在做相关的计算的时候仍以分段函数的方法进行计算往往是方便的。

所以分别在的正负两个区间上计算不定积分，得

大家注意在它的定义域上存在不定积分, 从而上式中的不是相互独立的常数，应该找出它们的关系，使得函数在也可导。为此只要上述形式的原函数的右端在分段点连续就可以了（在问题49的定理中，我们给出了原因，大家可以再去学习一下）。

所以在本题中分别在点取左右极限并使之相等就可以得出

从而经整理，所求的原函数为

分段函数求原函数（不定积分）是不定积分的一种热门题型，大家注意在分段区间内分别求出原函数的时候，注意结合分段点的连续性，之后再统一加上任意常数即可，这种解答方法和上面的过程异曲同工，理论上也是一致的。