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如果有人问什么是代数，一般人大概会想到：用字母之类的符号替代数字进行一系列的操作。对数学有所了解的人会想到，代数研究的是像群、环、域等各种由公理定义的抽象的结构。这都只是比较浅显的看法，都只是在说这个领域的内容是什么。而一个真正的数学家，不仅应该知道ta研究的领域有什么内容，更应该对这个领域的目标是什么，这个领域和其它数学分支有什么关系，甚至这个领域在人类所有的知识领域处于什么地位，都有自己的看法。 关于什么是代数，我更欣赏数学家沙法列维奇在他的《代数基本概念》中提到的观点：“数学研究的任何对象（曲线和曲面、映射、对称、晶体、量子力学中的量，等等）都可以'被坐标化’或者说'被度量’。然而，对这样的坐标化，用'通常’的数是不够的。 反之，当遇到一种新型的对象，我们必须构造（或发现）新型的'量’将它们坐标化。对于如此发生的这些量的构造和研究就是刻画代数在数学中所占有的地位（当然是相当近似地刻画）。” 沙法列维奇的观点不仅解释了什么是代数，而且还包含了对数学中抽象与具体的关系的看法：从具体问题中发现数学对象，再对数学对象进行抽象以研究这些数学对象所共有的普遍的规律，这是任何代数分支在发展过程中都必须经历的两个阶段，两者缺一不可。 数学中抽象和具体的关系是一个很长的话题，我们以后有机会再细说，我们还是先来关注什么是代数这个问题。沙法列维奇的观点已经很好地解释了代数在数学中的地位，但仍有可以进行补充的地方。接下来我将解释我所理解的，代数，乃至整个数学，在人类整个认知世界的过程中处于什么地位。 长久以来，人们一直有一种偏见，认为对客观事物进行“度量”、“量化”，是数学家或科学家的事情，与普通人无关；并且客观世界中能够被量化的只有像长度、面积、速度、质量这种连小学生都知道的概念，而客观世界是复杂多变的，客观世界中到处都有各种复杂的、模糊的、主观的概念，它们无法被量化，于是人们认为，科学和数学所能知道的是十分有限的，科学和数学只是人类诸多认识世界的方法中的一种。而事实上，量化的涵义远比这些人想象的更加普遍而深刻的多。 人们每天、甚至每时每刻都在对客观世界进行某种量化。人们把世界上的人划分为好的、坏的，把知识划分为对的、错的，把竞技比赛的结果划分为输的、赢的，这种二分法不就是在进行量化么?这是最简单，最粗糙的量化。当人们心中产生某种感觉而想要把这种感觉表达出来时，ta需要使用一些词汇来形容这种感觉，ta在将这种感觉与一些词汇对应起来，这就是一种量化，用语言对感觉进行量化。即使ta 不使用语言而通过其它方式表达这种感觉，那也是在将感觉与那些方式对应起来，也是一种量化。量化，本质上就是两个不同对象间的一种对应。你测量你的身高，实际上就是在把你的身高与实数中的一点对应起来；你用语言表达你的感觉，实际上就是把你的感觉和某些词语、语句对应起来。不仅如此，你与任何人的交流沟通，你其实是不可能真正知道别人在想什么的，因为你感觉不到别人的感觉，你只能通过别人表达出来的各种信息来判断ta的想法，这实际上是在把感觉、思想这种内在的对象与外部的信息进行对应。你观测某些超出你感官能够感觉的现象、学习某些超出你经验之外的知识时，你都是把那些未知的、超出你的感觉经验的对象，转化成某些你能感觉到的、已知的信息，或用某种你知道的语言、知识进行描述，这都是在把未知的对象、知识与已知的信息、知识对应起来。可以说，人类的任何一种认知活动，本质上都是在把某种未知的对象与某种已知的对象进行对应。在这个意义上，人类所有的认知行为本质上都是在对世界进行量化。 并不是所有的量化都是有价值的，想要更好地了解这个世界，就必须知道世界中那些客观存在的不为人的意志改变的事实，这就要求在认知世界的过程中，将未知的对象对应到已知的对象，这个对应关系必须是真实存在不是人为添加的。 在科学诞生之前，人类往往喜欢凭感觉把相似性质的东西联系到一起，人为地给那些相似的事物之间加上因果关系，人们没有能力思考和分辨这些因果关系是否真的存在、事物之间的联系是否拥有远超直觉的复杂性。即使偶然发现这些人为添加的因果关系与事实不符，人们依然可以随意添加新的解释，以自圆其说。无论这些解释具体是什么，看起来多么高大上，本质上都一样，都只能对客观世界中的现象作出马后炮式的解释，无法作出能够辨别出这种解释是否正确的预测。人若想摆脱愚昧，第一步就应该明白，人的直觉和经验在认识客观世界的过程中是极不可靠的。 科学自诞生之后，逐渐产生了一系列可以排除直觉和经验的干扰，甄别知识是否客观的方法，这使得科学知识具有其它任何知识都无法媲美的客观性。而在这其中概率的方法至关重要。但我们并不打算讲概率，概率只是数学很小的一部分，而我们关心的是更一般的数学。当科学家们用概率的方法（或者其它数学知识）来检验我们对客观世界的认知是否被直觉和经验误导时，有一个前提就是，数学知识比人类的直觉经验更加可靠，这就涉及到数学的客观性问题，这是接下来我要详细解释的。 长久以来，数学知识被认为是所有知识中最客观、最确定、最基础的，因为数学知识的正确性可以从一些在直觉上显然是正确的公理开始，经过严密的逻辑推理证明出来。随着人类文明的进步，人类越来越认识到直觉的不可靠，而数学的客观性也一直备受质疑。古希腊时代，人们把正整数和几何图形视为最纯粹的存在，关于它们的知识被视为绝对的真理。后来人们发现了不能表示成正整数之比的量，对于正整数的信念随之坍塌。但对几何的信念并未因此动摇，人们依然坚信几何学的知识是先验的，因为它们是如此的符合人们对空间的经验，以至于人们无法想象存在着其它类型的几何学。对几何的信念一直持续到19世纪，非欧几何的发现让人们意识到以前的几何学也是依赖于经验的。而19世纪数学爆炸式的发展也让数学中出现了很多富有争议的、反直觉的知识，数学家不得不重新思考数学的可靠性。一场规模浩大的严格化运动就此展开，数学家们重新整合了（当时）所有的数学知识，将它们建立在更坚实的基础上以保障数学知识的可靠性。几何学被建立在实数理论之上，实数被建立在有理数之上，有理数被建立在自然数之上。最后所有的数学知识都被建立在自然数之上，所有的数学对象都可以从自然数开始被一层一层定义出来，所有的数学知识最终都可以由自然数的性质保证。关于自然数，有些数学家试图把自然数还原为更基本的概念，如逻辑、集合等。但这些还原的方案都被发现存在着致命的矛盾。之后又出现了几种试图避免矛盾的改进方案，但最终所有的方案都被证明存在着重大的缺陷，这就是所谓的（第三次）数学危机。数学危机的故事经常在一些数学科普中被提到，这使人们产生了一种印象，觉得数学危机好像是很严重的事情，数学是不可靠的。然而事实上，数学危机虽然确实带来了很多哲学方面的探讨，但在数学上，它对绝大多数数学家的工作都没有产生什么影响，无论是正面的还是负面的影响，都没有。简单来说，所谓的数学危机其实表明了数学的内容是如此丰富，以至于你无法用一套有限的规则去涵盖所有的数学，数学危机其实是还原论的哲学观的危机，而不是数学本身的危机。20世纪数学哲学最根本的变化，就是从还原论的观点转向了结构主义。结构主义的观点简单来说就是，数学对象的意义是由这个数学对象与其它数学对象的关系决定的，而这个数学对象本身“是”什么完全没有意义。换句话说，数学对象就是不同客体之间的关系，而不是承载这些关系的客体，这些客体是什么完全无关紧要。 我们来看更具体的例子。我经常听到有人说，数学只是经验的产物，如果存在其它的宇宙，其它宇宙里的数学规律会和我们的不一样。（1+1=6,2+4=1,5+7=19，...）其实不需要到其它的宇宙，现实的宇宙就有很多这种数学规律“不成立”的例子。比如：一个正电子和一个负电子碰到一起会发生湮灭，那岂不是说，1+1=0才是对的？实际上，这里的“加法”和我们平时说的1+1=2的“加法”的涵义已经不一样了。你所能设想的那些1+1不等于2的情形里1+1的涵义其实都已经变了。用结构主义的观点来解释，我们平时说的1+1=2其实是在说整数加法群Z（+，0）这个结构，一个数学结构里的对象只有在和这个结构里的其它对象的关系里才有意义，在Z（+，0）这个结构里，2就是通过1+1这个关系定义的，离开了1+1就没有意义。类似的，1+1=0其实是另一个结构——只有2个元素的群Z2的事实。1+1=2和1+1=0都是对的，只是它们表示的是关于不同的数学结构的事实。在数学上，我们可以构造出各种各样的结构使它们满足某些奇形怪状的等式（只要没有逻辑上的矛盾），很多外行人对这些奇怪的等式为何会成立感到困惑，其实最简单的解释是，这些等式里加减乘除的涵义与我们平时理解的自然数上的加减乘除的涵义是不一样的。这些等式的正确性并不能说明我们平时理解的那些自然数上的加减乘除是错的，那些知识永远没有错，因为它们就是那样被定义的。我们再看一个例子，就是那个让无数中小学生百思不得其解的问题：为什么0.9循环=1？用结构主义的观点解释就是，对0.9循环和1进行同样的数学操作（加减乘除等）后得到结果一样，所以它们相等。你看那些对0.9循环=1的证明就是这么做的。至于0.9循环“是”什么，1“是”什么，它们两个的本体是不是同一个对象，完全不重要。如果有人构造出一个数学结构使得在这个结构里对0.9循环和1进行同样的数学操作后得到结果不完全一样，那么就可以认为在这个结构里0.9循环“不等于”1；但在我们通常使用的数学结构（实数域）里，只要对它们两进行同样的数学操作后得到结果一样，它们就是同样的数学对象。数学上只有它们两个与其它数学对象的关系是有意义的，它们两个究竟“是”什么完全没有意义。 总之，数学是最客观最可靠的知识。尽管历史上曾经发生过几次数学危机并且如今数学中依然存在着有争议的悖论，然而实际上，所有的数学危机其实都是发现了一种当时的数学无法涵盖的新的概念，使得数学家必须拓展数学的边界以涵盖新的概念，并将旧的数学作为新的数学的一种特例。每次数学危机所导致的后果都是带来数学在深度和广度上的提升，而不是推翻数学知识，从古至今没有任何一种数学知识被推翻过，被推翻的，都是那些“只有满足某些条件的数学才是唯一可以描述真实世界的数学”的哲学观念。 上面的论述不只说明了数学的客观性，也说明了数学的普遍性。数学为什么能够适用于自然中所有领域，因为数学研究的是抽象的结构（或者说关系、模式，意思都一样），而与承载这些结构的客体是什么无关，数学对象的定义不依赖于任何物理量，所以大到宇宙星系小到基本粒子，都在数学的适用范围内，即使存在着其它的宇宙，其它宇宙的数学规律也不会改变（虽然数学规律的发现方式、表达方式会大不相同）。无论任何尺度的世界，哪怕是虚构的世界，只要这个世界里存在着不同的对象，不同对象之间必定存在着某种相互作用、相互关系，并形成某种结构，那么这个世界必定存在着某种数学规律。但凡思想所及，都是数学遍及之处。 此外，人们平常认为数学具有的那些性质，如精确性、计算性，都可以从结构的观点统一解释。人们可以拿两个数字比较大小是因为那些数字具有序关系；人们可以对两个数进行加减乘除等运算是因为那些数和运算构成了某种代数结构；人们可以把数量无限细分以达到任意精度是因为有理数域、实数域具有稠密性......这些性质让数学“很有用”，然而数学作为一种研究客观世界的学问，它还有更深刻的意义——它决定了人类认知客观事物的深度。 想要认知客观世界，一个基本的要求就是要知道不同客观事物之间是否存在着客观的因果关系，在这复杂多变的世界里这并不是一件容易的事。有没有能力辨别事物之间的因果关系是否是客观存在的，是科学与伪科学的一道分水岭。然而即使是确定了事物之间确实存在着因果关系，这也只是认识事物的第一步而已。更深刻的认识是“知其然，知其所以然”，知道事物从原因发展到结果的整个过程，经过的所有变化，知道事物为什么能够从原因发展到结果。不仅如此，还可以更深一层，如果事物从原因发展到结果的过程背后隐藏着更深奥的规律，把这些规律找出来，了解这些规律是如何支配事物发展的。而事物的运动、变化过程实际上可以看作各种各样的结构，描述、研究各种结构，并找到这些结构背后更深层次的规律，这都是数学要做和一直在做的事。物理学家为什么要研究方程？并不只是因为从方程可以计算出很多有用的数据，更重要的是，方程描述了物理量运动、变化的整个过程，包含了物理过程的各种信息。方程让物理学家可以从一个整体的角度去理解物理过程，才有可能进一步发现物理过程背后更深刻的规律。如果失去了数学的支撑，物理学就只剩下一堆杂乱无章的实验数据，以及那些比民科胡思乱想强不了多少的思想实验。数学构成了物理学的主体，一个人如果不能看懂方程那ta无论看过多少科普，思维多么活跃，都无法真正理解物理学。其它学科也一样。自然科学中最深刻的部分就是那些由数学描述的部分。一个人的数学能力决定了ta认知客观世界的能力的上限。 回到我们前面的话题，科学作为一种认知世界的方式，它与数学紧密相关不可分离。数学具有超越所有经验直觉的客观性，这让科学家可以借助数学知识检验经验和直觉是否正确，让科学家只需要专注于寻找客观事物和数学对象之间真实存在的联系，而不需要考虑数学对象的客观性；数学的普遍性让科学家可以用数学对象量化自然界任何尺度任何范围内的客观对象；数学的结构性不但使得科学家可以根据数学结构作出预言从而区别于伪科学，更使得科学家对客观事物的理解能力达到其它知识无法达到的深度。拥有数学支撑的科学在客观性、广度、深度上都远远超越科学诞生之前的任何知识。科学并不是人类认知客观世界的众多方法的一种，而是认知客观世界最高级的方法，是认知客观世界的必经之路。 随着科学家和数学家对客观世界认知的深入，人们发现客观世界中存在着各种各样的结构，这些结构是客观存在的（尽管有些结构的客观性一直备受争议），它们是客观世界中不同事物之间的关系最本质的体现，支配着客观世界中各种现象的发生。通常意义上的数只是众多结构中的一种。而代数学所研究的就是称为代数结构的那一类结构：这类结构中任意两个元素之间都有相互作用，并且经过相互作用后得到的元素仍是这个结构中的元素。常见的代数结构还有一些所有元素都要满足的附加条件，这些附加条件使得这些常见的代数结构变得有趣而复杂，具有研究价值。 当然除了代数结构以外，还有其它类型的结构。20世纪法国的布尔巴基学派认为所有的数学对象都是由三种最基本的母结构复合衍生而成：序结构、代数结构、拓扑结构。比如：实数连同它们之间的大小关系，就构成了一种序结构；实数连同它们之间的加法构成了一种代数结构（实数群）；实数连同它们之间的加法和乘法构成了另一种代数结构（实数域）；实数上还可以通过定义不同的开集来构成不同的拓扑结构。三种母结构中，序结构由于有趣的性质较少，受到的关注也较少。而代数结构和拓扑结构值得研究的东西都非常多，所以代数学和拓扑学也就成了20世纪数学中成果最丰硕的两大领域。通常科学研究中用来进行量化的数学对象需要能够进行某种“计算”，而只有代数结构能够进行“计算”，拓扑结构通常只能对其进行定性分析，无法进行“计算”，所以通常科学中常见的量化都是指用代数结构进行量化。此外，拓扑学最初来源于对几何空间的整体性质的刻画，而这种整体性质的刻画光用集合是不够的，必须借助于代数结构。这也是为什么我将代数放在开始的部分讲。 最后对本文中想表达的意思做个梳理：人类所有认知活动本质上都是在已知的对象和未知的对象之间建立联系，通过已知对象的性质了解未知对象的性质。科学只关心那些客观存在的联系，因为只有客观存在的才是有价值研究的。人类可以通过理性思维来研究数学对象，然后在数学对象和未知对象之间建立联系，通过已知的数学对象的性质来了解未知对象，从而认知客观世界。数学的客观性、普遍性、深刻性在人类可以通过理性思维来认识的所有对象中都是最高的，所以数学决定了人类可以通过理性思维认识客观世界的能力的上限。科学正是有了数学的支持，才能超越神话和哲学，成为人类认知世界最强有力的方法。随着数学和科学的发展，可以用来与客观事物建立联系的数学对象由数扩大到范围更广大的抽象结构，代数学就是研究那些可以“计算”的抽象结构。随着人类对抽象结构的了解越来越多，人类可以用来与客观事物建立联系的数学对象也越多，人类认知客观世界的能力也越大。 参考文献： I.R.沙法列维奇 《代数基本概念》 斯图尔特·夏皮罗 著，郝兆宽，杨睿之译《数学哲学——对数学的思考》 |
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