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§87．我希望在本书中大致已经说明，算术定律是分析判断，因而是先验的。这样，算术就会仅仅是一种扩展形成的逻辑，每个算术句子就会是一条逻辑定律，然而是一条导出的定律。把算术用于对自然的解释，相当于对观察的事实[1]进行逻辑加工；计算就会成为推理。数规律不会像鲍曼[2]认为的那样，必须得到实际证明才能应用于外在世界，因为在外界中，即在空间事物的整体中，没有概念，没有概念性质，没有数。因此数规律实际上是不能用于外在事物的：它们不是自然规律。但是它们一定可以应用于对外界事物有效的判断：它们是自然规律的规律。它们断定的不是自然现象之间的联系，而是判断之间的联系；而且这些判断也包括自然规律。 §88．康德[3]显然低估了分析判断的价值——大概是由于过窄地确定这个概念——尽管他似乎想到了这里使用的这种较宽的概念。[4]如果以他的定义为基础，那么分析判断和综合判断的划分就不是穷尽的。他考虑到全称肯定判断的情况。在这种情况下，人们可以谈论一个主词概念，并且问——根据他的定义——它是否包含谓词概念。但是，如果主词是一个个别对象，又怎么办呢？如果涉及存在判断，又怎么办呢？在这种情况下，根本就不能在这种意义上谈论主词概念。康德似乎认为概念是通过指定的标志确定的；但是这属于最不富有成果的概念构造。看一看上面给出的所有定义，几乎找不到这样一种定义。对于数学中真正富有成果的定义也是如此，例如函数的连续性定义。那里没有一系列指定的标志，相反那些规定有一种紧密的，我想说是有机的联系。人们可以通过一个几何图形做出直观上的区别。如果人们通过一个平面的范围来表现这些概念（或它们的外延），那么与通过指定的标志而定义的概念相应的就是所有这些标志范围共同的那个范围；这个范围被那些范围的边界部分包围。因此在这样下定义时，就涉及——形象地说——以新的方式应用已经给出的线来划出一个范围。[5]但是这里本质上没有出现任何新东西。富有成果的概念规定划出以前还根本没有给定的界线。从它们可以推出什么，无法从一开始就认识到；这里，人们不是简单地从箱中把刚刚放入的东西又取出来。这些结论扩展了我们的认识，因此人们应该遵循康德把它们看作是综合的；然而，它们可以被纯逻辑地证明，因而它们是分析的。实际上它们包含在定义之中，但是恰如植物包含在种子之中，而不是像房梁包含在房屋之中。人们常常需要许多定义来证明一个句子，因此这个句子不包含在任何个别的定义中，然而却是从所有定义中纯逻辑地得出的。 §89．我必须也反驳康德[6]下述断言的普遍性：没有感觉，我们就不会得到任何对象。零、一是我们不能通过感觉而得到的对象。甚至将较小的数看作是直观的那些人也必须承认，他们无法直观地得到大于1000 为了不使人们责怪我对一位我们只能满怀钦佩衷心景仰的思想巨匠有些吹毛求疵，我认为必须也强调我和他相一致的地方，而且这远远超过不一致的地方。如果仅仅提及首要的东西，我认为康德的伟大功绩在于他区别出综合判断和分析判断。他称几何学真命题为综合的和先验的，以此他揭示了它们的真正本质。而且现在仍然值得重复这一点，因为人们还常常认识不到它。如果说康德在算术方面搞错了，那么我认为，从根本上说这无损于他的功绩。在他看来，重要的是存在着先验综合判断；至于它们是只在几何中还是也在算术中出现，则不太重要。 §90．我并不要求使算术句子的分析性比可能的更多，因为人们总是能够怀疑，是否可以完全从纯逻辑规律进行算术句子的证明，是否在任何地方都没有悄悄地插入另一种论据。甚至通过我为证明一些句子而提出的提示，也没有完全打消这种疑虑；只有通过完善的推理串，其中不出现任何不符合少数几类公认的纯逻辑推理的步骤，才能消除这种疑虑。至今几乎还没有一个证明是以这种方式进行的，因为如果向一个新判断的每次过渡显然是正确的，数学家就会表示满意，而不问这种显然性是逻辑的还是直觉的。这样前进的一步常常是由许多步复合构成的，等价于许多简单的推论，而且除了这些推论，还可能带有一些来自直觉的东西。人们跳跃式地进行推论，由此在数学中形成了看上去极其多种多样的推理方式；因为，跳跃越大，它们所能体现的由简单推理和直觉公理的组合就越多样。然而在我们看来，这样一种过渡常常显然是直接的，我们意识不到其中间阶段，而且，由于它不呈现为任何一类公认的逻辑推理方式，我们随时准备把这种显然性看作一种直观的东西，把这种推论的真看作一种综合的真，即使在有效性范围显然超出直观范围的情况下，也是如此。 以这种方式不可能把基于直觉的综合和分析清晰地区别开。人们也不能成功地把直觉公理确切无疑地完全排列在一起，以致根据逻辑规律仅从这些公理就能够进行所有数学证明。 §91．因此，绝不能拒绝下面的要求：在推理过程中要避免一切跳跃。这一要求很难满足，因为一步一步地进行推理是很冗长乏味的。每个稍微有些复杂的证明恐怕都会长得吓人。此外，由于语言中明确形成的逻辑形式过于多样，这就使人很难划分出一类推理方式的界线，这类推理方式满足所有情况并且很容易被忽略。 为了克服这种弊病，我设计出我的概念文字。它应该使表达式更加简明清楚，并且能够像运算那样以少数几个固定的公式来进行，因而不出现与那些一劳永逸地建立起来的规则相悖的过渡。[7]这样，任何论据都不能悄悄地潜入进来。以这种方式，不必从直觉借用任何公理，我就证明了一个句子，[8]而这个句子，人们一眼看上去就想把它看作一个综合句，这里我要把它表述如下： 如果一个序列中每个项与其后继的关系是一一对应的，而且如果在这个序列中m和y跟着x，那么y在这个序列中就在m前面或与m重合或跟着m。（G.弗雷格） 从这个证明可以看出，扩展了我们认识的句子可以包含分析判断。[9] |
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