【原】2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第4章　§4-3　两角和与差的正弦、余弦和正切公式

§4.3　两角和与差的正弦、余弦和正切公式

考试要求　1.会推导两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用．

知识梳理

1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式

(1)公式C_(α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β；

(2)公式C_(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；

(3)公式S_(α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β；

(4)公式S_(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；

(5)公式T_(α－β)：tan(α－β)＝；

(6)公式T_(α＋β)：tan(α＋β)＝.

2．辅助角公式

asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.

知识拓展

两角和与差的公式的常用变形：

(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β.

(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β.

(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．

tan αtan β＝1－＝－1.

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)存在α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sin β.(　√　)

(2)两角和与差的正切公式中的角α，β是任意角．(　×　)

(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(　×　)

(4)公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．(　×　)

教材改编题

1．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°等于(　　)

A．－  B.  C．－  D.

答案　D

解析　原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝.

2．若将sin x－cos x写成2sin(x－φ)的形式，其中0≤φ<π，则φ＝       .

答案　

解析　因为sin x－cos x＝2，

所以cos φ＝，sinφ＝，

因为0≤φ<π，

所以φ＝.

3．已知α∈，且sin α＝，则tan的值为       ．

答案　－

解析　因为α∈，且sin α＝，

所以cos α＝－＝－，tanα＝＝＝－.

所以tan＝＝＝－.

题型一　两角和与差的三角函数公式

例1　(1)计算：等于(　　)

A．－  B.  C．－  D.

答案　B

解析　

＝

＝＝.

(2)(2023·青岛模拟)已知tanα＝1＋m，tan β＝m，且α＋β＝，则实数m的值为(　　)

A．－1  B．1  C．0或－3  D．0或1

答案　C

解析　因为α＋β＝，

所以tan(α＋β)＝tan ⇒＝1⇒＝1⇒m²＋3m＝0，

解得m＝0或m＝－3.

思维升华　两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．

跟踪训练1　(1)(2023·茂名模拟)已知0<α<，sin＝，则的值为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　C

解析　因为sin＝，

所以(cos α－sinα)＝.

所以cos α－sin α＝，

所以1－2sin αcos α＝，

得sinαcos α＝，

因为cos α＋sin α＝＝，

所以＝＝

＝＝.

(2)(2022·新高考全国Ⅱ)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝2cossin β，则(　　)

A．tan(α－β)＝1

B．tan(α＋β)＝1

C．tan(α－β)＝－1

D．tan(α＋β)＝－1

答案　C

解析　由题意得sin αcos β＋cosαsin β＋cos αcos β－sinαsin β＝2×(cos α－sinα)sin β，整理得sin αcos β－cosαsin β＋cos αcos β＋sinαsin β＝0，即sin(α－β)＋cos(α－β)＝0，所以tan(α－β)＝－1，故选C.

题型二　两角和与差的公式逆用与辅助角公式

例2　(1)在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝，则tan Atan B的值为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　B

解析　在△ABC中，∵C＝120°，∴tan C＝－.

∵A＋B＝π－C，

∴tan(A＋B)＝－tan C＝.

∴tanA＋tan B＝(1－tanAtan B)，

又∵tan A＋tanB＝，

∴tanAtan B＝.

(2)(2022·浙江)若3sinα－sinβ＝，α＋β＝，则sin α＝       ，cos 2β＝       .

答案　　

解析　因为α＋β＝，所以β＝－α，

所以3sin α－sin β＝3sinα－sin＝3sinα－cos α＝sin(α－φ)＝，其中sin φ＝，cosφ＝.

所以α－φ＝＋2kπ，k∈Z，

所以α＝＋φ＋2kπ，k∈Z，

所以sin α＝sin＝cosφ＝，k∈Z.

因为sin β＝3sin α－＝－，

所以cos 2β＝1－2sin²β＝1－＝.

思维升华　运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力．

跟踪训练2　(1)(2022·咸阳模拟)已知sin＝，则sin x＋sin等于(　　)

A．1  B．－1  C.  D.

答案　A

解析　因为sin＝，

所以sin x＋sin＝sinx＋sin x－cos x＝sin＝1.

(2)满足等式(1＋tan α)(1＋tan β)＝2的数组(α，β)有无穷多个，试写出一个这样的数组________．

答案　(答案不唯一)

解析　由(1＋tanα)(1＋tan β)＝2，

得1＋tanβ＋tan α＋tanαtan β＝2，

所以tan β＋tan α＝1－tanαtan β，

所以＝1，

所以tan(α＋β)＝1，

所以α＋β＝kπ＋，k∈Z，所以α可以为0，β可以为(答案不唯一)．

题型三　角的变换问题

例3　(1)(2020·全国Ⅲ)已知sin θ＋sin＝1，则sin等于(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　B

解析　因为sin θ＋sin

＝sin＋sin

＝sincos －cossin ＋sincos ＋cossin 

＝2sincos ＝sin＝1.

所以sin＝.

(2)已知α，β为锐角，sin α＝，cos(α＋β)＝－.则sin(2α＋β)的值为       ．

答案　－

解析　因为0<α<，sinα＝，所以cos α＝＝＝，

因为0<α<，0<β<，所以0<α＋β<π，

因为cos(α＋β)＝－，所以sin(α＋β)＝＝＝，

所以sin(2α＋β)＝sin(α＋α＋β) ＝sinαcos(α＋β)＋cosαsin(α＋β)＝×＋×＝－.

思维升华　常用的拆角、配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝－＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；＋α＝－等．

跟踪训练3　(1)(2023·青岛质检)已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，则cos＝________.

答案　－

解析　由题意知，α＋β∈，

sin(α＋β)＝－<0，所以cos(α＋β)＝，

因为sin＝，β－∈，

所以cos＝－，

所以cos＝cos

＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin＝－.

(2)若tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，则tan(α＋β)＝       ，tan α＝       .

答案　－1　

解析　∵tan(α＋2β)＝2，tanβ＝－3，

∴tan(α＋β)＝tan(α＋2β－β)＝＝＝－1，

tan α＝tan(α＋β－β)＝＝＝.

课时精练

1．(2023·苏州模拟)cos 24°cos 36°－sin 24°cos 54°等于(　　)

A．cos 12°  B．－cos 12°  C．－  D.

答案　D

解析　cos 24°cos 36°－sin 24°cos 54°＝cos 24°cos 36°－sin 24°sin 36°＝cos(24°＋36°)

＝cos 60°＝.

2．(2023·合肥模拟)已知sinα＋cosα＝，则sin等于(　　)

A．±  B.  C．－  D．－

答案　C

解析　∵sin α＋cosα＝sin＝，

∴sin＝，

∴sin＝sin＝－sin＝－.

3．(2023·重庆模拟)若2cos 80°＝cos 20°＋λsin 20°，则λ等于(　　)

A．－  B．－1  C．1  D.

答案　A

解析　由已知可得λ＝＝＝－＝－.

4．(2023·西安模拟)已知2cos＝sin α，则sin αcos α等于(　　)

A．－  B.  C．－  D.

答案　D

解析　2cos＝sinα，即2cos αcos －2sinαsin ＝sinα，即cos α－sinα＝sin α，

则tanα＝，所以sin αcos α＝＝＝.

5．(2023·扬州质检)已知sinα＝，且α为锐角，tan β＝－3，且β为钝角，则α＋β的值为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　B

解析　sinα＝，且α为锐角，则cos α＝＝＝，tanα＝＝.

所以tan(α＋β)＝＝＝－1.

又β为钝角，则α＋β∈，故α＋β＝.

6．(2023·威海模拟)已知α∈，若tan＝－2，则cos等于(　　)

A.  B.  C．－  D．－

答案　C

解析　因为α∈，则α＋∈，

又tan＝－2<0，故α＋∈，

则cos＝，sin＝－，

故cos＝cos＝coscos ＋sinsin ＝×＋×＝－.

7．(2022·重庆模拟)cos 15°sin 10°cos 20°＋cos 10°cos 70°－2cos 45°sin 15°sin 10°sin 70°的值为______．

答案　

解析　原式＝cos 20°sin 10°(cos 15°－sin 15°)＋cos 10°cos 70°

＝cos 20°sin 10°×cos(45°＋15°)＋cos 10°cos 70°

＝cos 20°sin 10°＋cos 10°sin 20°＝sin 30°＝.

8．(2022·上海模拟)已知α，β∈，且tan α＋tan β＋tan αtan β＝，则α＋β＝       .

答案　－

解析　由tan α＋tanβ＋tan αtan β＝得

tan(α＋β)＝＝，

又α，β∈，则α＋β∈(－π，0)，

所以α＋β＝－.

9．(2023·合肥模拟)已知α，β∈，且

(1)求α＋β的值；

(2)证明：0<α－β<，并求sin(α－β)的值．

解　(1)因为α，β∈，

所以cos α>0，cosβ>0，

由

解得cos α＝，cosβ＝，

所以sin α＝＝，

sin β＝＝，

cos(α＋β)＝cos αcos β－sinαsin β＝×－×＝，

因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.

(2)因为α＋β＝，sin＝>sin α＝>sin β＝，且函数y＝sin x在上单调递增，

所以0<β<α<，所以0<α－β<，

所以sin (α－β)＝sinαcos β－cos αsin β＝×－×＝.

10．在①tan(π＋α)＝3；②sin(π－α)－2sin＝cos(－α)；③3sin＝cos中任选一个条件，补充在下面问题中，并解决问题．

已知0<β<α<，       ，cos(α＋β)＝－.

(1)求sin；

(2)求β.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

解　(1)若选①，tan(π＋α)＝tan α＝＝3，

又因为sin²α＋cos²α＝1,0<α<，

所以sin α＝，cosα＝，

所以sin＝sinαcos－cosαsin ＝×－×＝.

若选②，因为sin(π－α)－2sin＝cos(－α)，化简得sin α＝3cosα，

又因为sin²α＋cos²α＝1,0<α<，所以sin α＝，cosα＝，

所以sin＝sinαcos －cosαsin ＝×－×＝.

若选③，因为3sin＝cos，化简得3cos α＝sin α，

又因为sin²α＋cos²α＝1,0<α<，所以sin α＝，cosα＝，

所以sin＝sinαcos －cosαsin ＝×－×＝.

(2)因为0<β<α<，且cos(α＋β)＝－，所以<α＋β<π，

所以sin(α＋β)＝＝，

所以sin β＝sin[(α＋β)－α]＝×－×＝，

又因为0<β<，所以β＝.

11．已知3sin x－4cos x＝5sin(x＋φ)，则φ所在的象限为(　　)

A．第一象限                                      B．第二象限

C．第三象限                                      D．第四象限

答案　D

解析　3sinx－4cos x＝5＝5sin(x＋φ)，其中sin φ＝－，cosφ＝，

所以φ所在的象限为第四象限．

12．(多选)已知α，β，γ∈，sin β＋sin γ＝sin α，cos α＋cos γ＝cos β，则下列说法正确的是(　　)

A．cos(β－α)＝                              B．cos(β－α)＝

C．β－α＝                                        D．β－α＝－

答案　BD

解析　由已知可得

所以1＝sin²γ＋cos²γ＝(sinα－sin β)²＋(cosβ－cos α)²＝2－2(cosβcos α＋sin βsin α)＝2－2cos(β－α)，

所以cos(β－α)＝，

因为α，β，γ∈，则－<β－α<，

因为sin γ＝sin α－sinβ>0，函数y＝sinx在上单调递增，则α>β，则－<β－α<0，故β－α＝－.

13．(2023·武汉质检)设sin＝2cos αsin ，则的值为(　　)

A.  B.  C．2  D．4

答案　B

解析　∵sin＝2cosαsin ，

∴sinαcos －cosαsin ＝2cosαsin ，即sin αcos ＝3cosαsin ，

∴tanα＝3tan ，

∵cos＝cos＝sin

＝sinαcos ＋cosαsin ，

∴＝＝＝＝.

14．(多选)下列结论正确的是(　　)

A．sin(α－β)sin(β－γ)－cos(α－β)cos(γ－β)＝cos(α－γ)

B．3sin x＋3cos x＝3sin

C．f(x)＝sin ＋cos 的最大值为

D．sin 50°(1＋tan 10°)＝1

答案　CD

解析　对于A，左边＝－[cos(α－β)cos(β－γ)－sin(α－β)sin(β－γ)]＝－cos[(α－β)＋(β－γ)]＝－cos(α－γ)，故A错误；

对于B，3sin x＋3cos x＝6＝6sin，故B错误；

对于C，f(x)＝sin ＋cos ＝sin，

所以f(x)的最大值为，故C正确；

对于D，由sin 50°(1＋tan 10°)＝sin 50°·＝sin 50°·＝＝＝＝1，故D正确．

15．(2023·厦门模拟)若＝－3，则＝________.

答案　2

解析　依题意，＝

＝

＝＝－3，

整理得tan α＝2tan ，所以＝2.

16．在平面直角坐标系Oxy中，先将线段OP绕原点O按逆时针方向旋转角θ，再将旋转后的线段OP的长度变为原来的ρ(ρ>0)倍得到OP₁，我们把这个过程称为对点P进行一次T(θ，ρ)变换得到点P₁，例如对点(1,0)进行一次T 变换得到点(0,3)．若对点A(1,0)进行一次T 变换得到点A₁，则A₁的坐标为       ；若对点B进行一次T(θ，ρ)变换得到点B₁(－3，－4)，对点B₁再进行一次T(θ，ρ)变换得到点B₂，则B₂的坐标为       ．

答案　(－1，)　

解析　点A(1,0)，OA与x轴的正方向的夹角θ＝0且|OA|＝1.进行一次T 变换，即将线段OA绕原点O按逆时针方向旋转，再将OA的长度伸长为原来的2倍得到点A₁，即坐标为A₁(－1，).

因为对点B进行一次T(θ，ρ)变换后得到点B₁(－3，－4)，

|OB|＝＝1，|OB₁|＝＝5，所以ρ＝5，

所以|OB₂|＝|OB₁|·ρ＝5×5＝25，

设OB与x轴的正方向的夹角为α，则sin α＝，cosα＝，tanα＝，并且sin(α＋θ)＝－，cos(α＋θ)＝－，tan(α＋θ)＝，

根据tan θ＝tan[(α＋θ)－α]＝＝＝，

因为π<θ<，所以sin θ＝－，cosθ＝－，

所以cos[(α＋θ)＋θ]＝cos(α＋θ)cos θ－sin(α＋θ)sin θ＝×－×＝，sin[(α＋θ)＋θ]＝sin(α＋θ)cos θ＋cos(α＋θ)sin θ＝×＋×＝，

所以B₂，

即B₂.