【原】2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第7章　§7-4　空间直线、平面的平行

§7.4　空间直线、平面的平行

考试要求　1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明.2.掌握直线与平面、平面与平面平行的判定与性质，并会简单应用．

知识梳理

1．线面平行的判定定理和性质定理

	文字语言	图形语言	符号语言
判定定理	如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行		⇒a∥α
性质定理	一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行		⇒a∥b

2．面面平行的判定定理和性质定理

	文字语言	图形语言	符号语言
判定定理	如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行		⇒β∥α
性质定理	两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行		⇒a∥b

常用结论

1．垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.

2．平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.

3．垂直于同一个平面的两条直线平行，即a⊥α，b⊥α，则a∥b.

4．若α∥β，a⊂α，则a∥β.

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若一条直线平行于一个平面内的两条直线，则这条直线平行于这个平面．(　×　)

(2)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.(　×　)

(3)若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，a∥b，则α∥β.(　×　)

(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线也相互平行．(　×　)

教材改编题

1．平面α∥平面β的一个充分条件是(　　)

A．存在一条直线a，a∥α，a∥β

B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β

C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α

D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α

答案　D

解析　若α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，则a∥α，a∥β，排除A；若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，排除B；若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则a∥β，b∥α，排除C.

2．(多选)已知α，β是两个不重合的平面，l，m是两条不同的直线，则下列说法正确的是(　　)

A．若l∥m，l∥β，则m∥β或m⊂β

B．若α∥β，m⊂α，l⊂β，则m∥l

C．若m⊥α，l⊥m，则l∥α

D．若m∥α，m⊂β，α∩β＝l，则m∥l

答案　AD

解析　对于A，若l∥m，l∥β，则m∥β或m⊂β，A正确；

对于B，若α∥β，m⊂α，l⊂β，则m∥l或l，m异面，B错误；

对于C，若m⊥α，l⊥m，则l∥α或l⊂α，C错误；

对于D，由线面平行的性质知正确．

3. 如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为______．

答案　平行四边形

解析　∵平面ABFE∥平面DCGH，

又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，

平面EFGH∩平面DCGH＝HG，

∴EF∥HG.同理EH∥FG，

∴四边形EFGH是平行四边形.

题型一　直线与平面平行的判定与性质

命题点1　直线与平面平行的判定

例1　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD, PD＝AD＝AB＝2，CD＝4，E为PC的中点．

求证：BE∥平面PAD.

证明　方法一　如图，取PD的中点F，连接EF，FA.

由题意知EF为△PDC的中位线，

∴EF∥CD，且EF＝CD＝2.

又∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4，∴AB綉EF，

∴四边形ABEF为平行四边形，∴BE∥AF.

又AF⊂平面PAD，BE⊄平面PAD，

∴BE∥平面PAD.

方法二　如图，延长DA，CB相交于H，连接PH，

∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4，

∴＝＝，即B为HC的中点，

又E为PC的中点，∴BE∥PH，

又BE⊄平面PAD，PH⊂平面PAD，∴BE∥平面PAD.

方法三　如图，取CD的中点H，连接BH，HE，

∵E为PC的中点，∴EH∥PD，

又EH⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，

∴EH∥平面PAD，

又由题意知AB綉DH，∴四边形ABHD为平行四边形，∴BH∥AD，

又AD⊂平面PAD，BH⊄平面PAD，

∴BH∥平面PAD，

又BH∩EH＝H，BH，EH⊂平面BHE，

∴平面BHE∥平面PAD，

又BE⊂平面BHE，∴BE∥平面PAD.

命题点2　直线与平面平行的性质

例2　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H.

求证：PA∥GH.

证明　如图所示，连接AC交BD于点O，连接OM，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴O是AC的中点，

又M是PC的中点，

∴PA∥OM，

又OM⊂平面BMD，PA⊄平面BMD，

∴PA∥平面BMD，

又PA⊂平面PAHG，平面PAHG∩平面BMD＝GH，

∴PA∥GH.

思维升华　(1)判断或证明线面平行的常用方法

①利用线面平行的定义(无公共点)．

②利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．

③利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．

④利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．

(2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线．

跟踪训练1　如图，四边形ABCD为长方形，PD＝AB＝2，AD＝4，点E，F分别为AD，PC的中点．设平面PDC∩平面PBE＝l.证明：

(1)DF∥平面PBE；

(2)DF∥l.

证明　(1)取PB中点G，连接FG，EG，

因为点F为PC的中点，

所以FG∥BC，FG＝BC，

因为四边形ABCD为长方形，所以BC∥AD，且BC＝AD，

所以DE∥FG，DE＝FG，所以四边形DEGF为平行四边形，

所以DF∥GE，因为DF⊄平面PBE，GE⊂平面PBE，所以DF∥平面PBE；

(2)由(1)知DF∥平面PBE，

又DF⊂平面PDC，平面PDC∩平面PBE＝l，

所以DF∥l.

题型二　平面与平面平行的判定与性质

例3　如图，四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是正方形．

(1)证明：平面A₁BD∥平面CD₁B₁.

(2)若平面ABCD∩平面CD₁B₁＝l，证明：B₁D₁∥l.

证明　(1)由题设知BB₁∥DD₁且BB₁＝DD₁，

所以四边形BB₁D₁D是平行四边形，

所以BD∥B₁D₁.

又BD⊄平面CD₁B₁，B₁D₁⊂平面CD₁B₁，

所以BD∥平面CD₁B₁.

因为A₁D₁∥B₁C₁∥BC且A₁D₁＝B₁C₁＝BC，

所以四边形A₁BCD₁是平行四边形，

所以A₁B∥D₁C.

又A₁B⊄平面CD₁B₁，D₁C⊂平面CD₁B_1,

所以A₁B∥平面CD₁B₁.

又因为BD∩A₁B＝B，BD，A₁B⊂平面A₁BD，

所以平面A₁BD∥平面CD₁B₁.

(2)由(1)知平面A₁BD∥平面CD₁B₁，

又平面ABCD∩平面CD₁B₁＝l，

平面ABCD∩平面A₁BD＝BD，

所以l∥BD，

又B₁D₁∥BD，所以B₁D₁∥l.

思维升华　(1)证明面面平行的常用方法

①利用面面平行的判定定理．

②利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)．

③利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)．

(2)当已知两平面平行时，可以得出线面平行，如果要得出线线平行，必须是与第三个平面的交线．

跟踪训练2　如图所示，在三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，过BC的平面与上底面A₁B₁C₁交于GH(GH与B₁C₁不重合)．

(1)求证：BC∥GH；

(2)若E，F，G分别是AB，AC，A₁B₁的中点，求证：平面EFA₁∥平面BCHG.

证明　(1)∵在三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，

∴平面ABC∥平面A₁B₁C₁，

又∵平面BCHG∩平面ABC＝BC，

且平面BCHG∩平面A₁B₁C₁＝HG，

∴由面面平行的性质定理得BC∥GH.

(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，

∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，

∴EF∥平面BCHG.

又G，E分别为A₁B₁，AB的中点，A₁B₁綉AB，

∴A₁G綉EB，

∴四边形A₁EBG是平行四边形，

∴A₁E∥GB.

∵A₁E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，

∴A₁E∥平面BCHG.

又∵A₁E∩EF＝E，A₁E，EF⊂平面EFA₁，

∴平面EFA₁∥平面BCHG.

题型三　平行关系的综合应用

例4　如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，在侧面PBC内，有BE⊥PC于E，且BE＝a，试在AB上找一点F，使EF∥平面PAD.

解　如图，在平面PCD内，过点E作EG∥CD交PD于点G，连接AG，

在AB上取点F，使AF＝EG，

因为EG∥CD∥AF，EG＝AF，

所以四边形FEGA为平行四边形，所以EF∥AG.

又AG⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD.

所以点F即为所求的点．

又PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC，

又BC⊥AB，PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB.所以PB⊥BC.

所以PC²＝BC²＋PB²＝BC²＋AB²＋PA².

设PA＝x，则PC＝，由PB·BC＝PC·BE，得·a＝·a，

所以x＝a，即PA＝a，所以PC＝a.

又CE＝＝a，所以＝，所以＝＝，

即GE＝CD＝a，所以AF＝a.

故点F是AB上靠近B点的一个三等分点．

思维升华　解决面面平行问题的关键点

(1)在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，绝不可过于“模式化”．

(2)解答探索性问题的基本策略是先假设，再严格证明，先猜想再证明是学习和研究的重要思想方法．

跟踪训练3　如图，在斜三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，D，D₁分别为AC，A₁C₁上的点．

(1)当等于何值时，BC₁∥平面AB₁D₁?

(2)若平面BC₁D∥平面AB₁D₁，求的值．

解　(1)当＝1时，BC₁∥平面AB₁D₁.

如图，连接A₁B交AB₁于点O，连接OD₁.

由棱柱的性质知，四边形A₁ABB₁为平行四边形，

∴点O为A₁B的中点．

在△A₁BC₁中，O，D₁分别为A₁B，A₁C₁的中点，

∴OD₁∥BC₁.

又OD₁⊂平面AB₁D₁，BC₁⊄平面AB₁D₁，∴BC₁∥平面AB₁D₁.

∴当＝1时，BC₁∥平面AB₁D₁.

(2)由已知，平面BC₁D∥平面AB₁D₁，且平面A₁BC₁∩平面BC₁D＝BC₁，平面A₁BC₁∩平面AB₁D₁＝OD₁.

因此BC₁∥OD₁，同理AD₁∥DC₁.

∴＝，＝.

又＝1，∴＝1，即＝1.

课时精练

1. 如图，已知P为四边形ABCD外一点，E，F分别为BD，PD上的点，若EF∥平面PBC，则(　　)

A．EF∥PA

B．EF∥PB

C．EF∥PC

D．以上均有可能

答案　B

解析　由线面平行的性质定理可知EF∥PB.

2．已知三条互不相同的直线l，m，n和三个互不相同的平面α，β，γ，现给出下列三个命题：

①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；

②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；

③若α∩β＝l，γ∩β＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.

其中真命题的个数为(　　)

A．3  B．2  C．1  D．0

答案　C

解析　对于①，两条异面直线分别在两个平面内，这两个平面可能平行，也可能相交，故①错误；

对于②，两个平行平面内分别有一条直线，这两条直线的位置关系是平行或异面，故②错误；

对于③，因为l∥γ，l⊂α，α∩γ＝n，所以由线面平行的性质定理可得l∥n，同理l∥m，所以m∥n，故③正确，

因此真命题的个数为1.

3. 在如图所示的三棱柱ABC －A₁B₁C₁中，过A₁B₁的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是(　　)

A．异面

B．平行

C．相交

D．以上均有可能

答案　B

解析　在三棱柱ABC －A₁B₁C₁中，AB∥A₁B₁，

∵AB⊂平面ABC，A₁B₁⊄平面ABC，∴A₁B₁∥平面ABC，

∵过A₁B₁的平面与平面ABC交于DE.∴DE∥A₁B₁，∴DE∥AB.

4．设α，β，γ为三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．

①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.

可以填入的条件有(　　)

A．①②  B．②③  C．①③  D．①②③

答案　C

解析　由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．

5．(多选)(2022·济宁模拟)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，D，E，F为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面DEF平行的是(　　)

答案　AC

解析　对于A，AB∥DE，AB⊄平面DEF，

DE⊂平面DEF，

∴直线AB与平面DEF平行，故A正确；

对于B，如图1，作平面DEF交正方体的棱于点G，连接FG并延长，交AB的延长线于点H，则AB与平面DEF相交于点H，故B错误；

对于C，AB∥DF，AB⊄平面DEF，DF⊂平面DEF，

∴直线AB与平面DEF平行，故C正确；

对于D，如图2，连接AC，取AC的中点O，连接OD，

又D为BC的中点，∴AB∥OD，

∵OD与平面DEF相交，

∴直线AB与平面DEF相交，故D错误．

6. (2023·广州模拟)如图，在三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AM＝2MA₁，BN＝2NB₁，过MN作一平面分别交底面△ABC的边BC，AC于点E，F，则(　　)

A．MF∥EB

B．A₁B₁∥NE

C．四边形MNEF为平行四边形

D．四边形MNEF为梯形

答案　D

解析　由于B，E，F三点共面，F∈平面BEF，

M∉平面BEF，故MF，EB为异面直线，

故A错误；

由于B₁，N，E三点共面，B₁∈平面B₁NE，A₁∉平面B₁NE，故A₁B₁，NE为异面直线，故B错误；

∵在平行四边形AA₁B₁B中，AM＝2MA₁，

BN＝2NB₁，

∴AM∥BN，AM＝BN，

故四边形AMNB为平行四边形，

∴MN∥AB.

又MN⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，

∴MN∥平面ABC.

又MN⊂平面MNEF，

平面MNEF∩平面ABC＝EF，

∴MN∥EF，∴EF∥AB，

显然在△ABC中，EF≠AB，

∴EF≠MN，

∴四边形MNEF为梯形，故C错误，D正确．

7.如图，平面α∥平面β∥平面γ，两条直线a，b分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和点D，E，F.已知AB＝2 cm，DE＝4 cm，EF＝3 cm，则AC的长为________cm.

答案　

解析　过点D作直线AB的平行线分别交平面β与平面γ于点M，N，连接AD，BM，CN，ME，NF，如图所示，所以AD∥BM∥CN，ME∥NF，

所以＝＝，因为AB＝2 cm，DE＝4 cm，EF＝3 cm，所以＝，解得BC＝ cm，

所以AC＝AB＋BC＝2＋＝(cm)．

8. 如图所示，CD，AB均与平面EFGH平行，E，F，G，H分别在BD，BC，AC，AD上，且CD⊥AB.则四边形EFGH的形状为________．

答案　矩形

解析　因为CD∥平面EFGH，CD⊂平面BCD，平面EFGH∩平面BCD＝EF，所以CD∥EF.

同理HG∥CD，所以EF∥HG.同理HE∥GF，所以四边形EFGH为平行四边形．

又因为CD⊥AB，所以HE⊥EF，所以平行四边形EFGH为矩形．

9.如图，四边形ABCD与四边形ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：

(1)BE∥平面DMF；

(2)平面BDE∥平面MNG.

证明　(1)如图，设DF与GN的交点为O，连接AE，则AE必过点O，

连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，

又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.

(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，

又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，

所以DE∥平面MNG.

又M为AB的中点，

所以MN为△ABD的中位线，

所以BD∥MN，

又MN⊂平面MNG，BD⊄平面MNG，

所以BD∥平面MNG，

又DE，BD⊂平面BDE，DE∩BD＝D，

所以平面BDE∥平面MNG.

10．如图所示，在等腰梯形ABCD中，已知BC∥AD，BP⊥AD，垂足为P，将△ABP沿BP折起，使平面ABP⊥平面PBCD，连接AD，AC，M为棱AD的中点，连接CM.

试分别在BP，CD上确定点E，F，使平面MEF∥平面ABC.

解　E，F分别为BP，CD的中点时，可使平面MEF∥平面ABC，证明如下：

如图，取BP的中点E，CD的中点F，连接ME，MF，EF.

∵M，F分别为AD，CD的中点，

∴MF∥AC.

∵MF⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，∴MF∥平面ABC，

又E为BP的中点，且四边形PBCD为梯形，

∴EF∥BC.

∵EF⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，∴EF∥平面ABC，

∵MF∩EF＝F，MF，EF⊂平面MEF，

∴平面MEF∥平面ABC.

11. (多选)如图，向透明塑料制成的长方体容器ABCD－A₁B₁C₁D₁内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个结论，其中正确的是(　　)

A．没有水的部分始终呈棱柱形

B．水面EFGH所在四边形的面积为定值

C．棱A₁D₁始终与水面所在的平面平行

D．当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值

答案　ACD

解析　由题图，显然A是正确的，B是错误的；对于C，因为A₁D₁∥BC，BC∥FG，

所以A₁D₁∥FG且FG⊂平面EFGH，A₁D₁⊄平面EFGH，所以A₁D₁∥平面EFGH(水面)，所以C是正确的；

因为水是定量的(定体积V)．所以S_△BEF·BC＝V，即BE·BF·BC＝V，所以BE·BF＝(定值)，即D是正确的．

12. 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，AB⊥AD，BC∥AD，PA＝AD＝4，AB＝BC＝2，PA⊥平面ABCD，点E是线段AB的中点，点F在线段PA上，且EF∥平面PCD，直线PD与平面CEF交于点H，则线段CH的长度为(　　)

A.                                                B．2

C．2                                            D．2

答案　C

解析　∵PD与平面CEF交于点H，∴平面CEF∩平面PCD＝CH.∵EF∥平面PCD，∴EF∥CH，过点H作HM∥PA交AD于点M，连接CM，如图所示．

∵EF∩AP＝F，CH∩HM＝H，

∴平面AEF∥平面CHM.

∵平面AEF∩平面ABCD＝AE，平面CHM∩平面ABCD＝CM，∴AE∥CM.又BC∥AM，∴四边形ABCM为平行四边形，∴AM＝BC＝2.又AD＝4，∴M是AD的中点，则H为PD的中点，∴CH＝＝＝2.

13. 如图，在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，A₁B₁与截面AD₁C的位置关系是________，A₁B与平面DD₁C₁C的位置关系是________．

答案　相交　平行

解析　A₁B₁与截面AD₁C相交，

由题意得A₁B∥D₁C，而A₁B⊄平面DD₁C₁C，D₁C⊂平面DD₁C₁C，

所以A₁B∥平面DD₁C₁C.

14．如图，在四面体ABCD中，M，N分别是平面△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．

答案　平面ABC，平面ABD

解析　如图，连接AM并延长交CD于E，连接BN并延长交CD于F，由重心性质可知，E，F重合为一点，且该点为CD的中点，由＝＝，得MN∥AB，又AB⊂平面ABC，AB⊂平面ABD，MN⊄平面ABC，MN⊄平面ABD，因此，MN∥平面ABC且MN∥平面ABD.

15. 如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，点E，F分别是棱BC，CC₁的中点，P是侧面BCC₁B₁内一点，若A₁P∥平面AEF，则线段A₁P长度的取值范围是(　　)

A.                                        B.

C.                                      D．[，]

答案　B

解析　如图，取B₁C₁的中点M，BB₁的中点N，连接A₁M，A₁N，MN，

可以证明平面A₁MN∥平面AEF，所以点P位于线段MN上．因为A₁M＝A₁N＝＝，

MN＝＝，

所以当点P位于M，N点时，A₁P最大，当点P位于MN的中点O时，A₁P最小，此时A₁O＝＝，所以≤|A₁P|≤，所以线段A₁P长度的取值范围是.

16. 如图，矩形ABCD所在平面与以BC为直径的圆所在平面垂直，O为BC中点，M是圆周上一点，且∠CBM＝30°，AB＝1，BC＝2.

(1)求异面直线AO与CM所成角的余弦值；

(2)设点P是线段AM上的点，且满足AP＝λPM，若直线CM∥平面BPD，求实数λ的值．

解　(1)取AD中点N，连接CN，MN，OM，ON，如图，

因为ABCD为矩形，O，N分别为BC，AD中点，

所以AO∥CN，

所以∠MCN(或其补角)就是异面直线AO与CM所成角，

因为平面ABCD⊥平面BCM，平面ABCD∩平面BCM＝BC，

在矩形ABCD中，NO⊥BC，NO⊂平面ABCD，

所以NO⊥平面BCM，

又OM⊂平面BCM，所以NO⊥OM，

在△MON中，∠MON＝90°，OM＝NO＝1，

所以MN＝，

又M是圆周上一点，且∠CBM＝30°，

所以CM＝1，

在△MCN中，CN＝，

由余弦定理的推论可得cos∠MCN＝＝，

所以异面直线AO与CM所成角的余弦值为.

(2)如图，连接PB，PD，连接BD交AC于点Q，连接PQ，

因为直线CM∥平面BPD，直线CM⊂平面ACM，平面BPD∩平面ACM＝PQ，

所以CM∥PQ，

因为矩形ABCD的对角线交点Q为AC中点，

所以PQ为△AMC的中位线，

所以P为AM中点，AP＝PM，

又AP＝λPM，

所以λ的值为1.