【原】2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第8章　§8-13　圆锥曲线中探索性与综合性问题

§8.13　圆锥曲线中探索性与综合性问题

题型一　探索性问题

例1　(2023·南通模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，且过点.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)设Q为双曲线C右支第一象限上的一个动点，F为双曲线C的右焦点，在x轴的负半轴上是否存在定点M使得∠QFM＝2∠QMF？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

解　(1)依题意结合c²＝a²＋b²，

解得a＝1，b＝，c＝2.

所以双曲线C的标准方程为x²－＝1.

(2)假设存在点M(t,0)(t<0)满足题设条件．

由(1)知双曲线C的右焦点为F(2,0)．

设Q(x₀，y₀)(x₀≥1)为双曲线C右支上一点．

当x₀＝2时，

因为∠QFM＝2∠QMF＝90°，

所以∠QMF＝45°，

于是|MF|＝|QF|＝3，

所以t＝－1.即M(－1,0)．

当x₀≠2时，tan∠QFM＝－k_QF＝－，

tan∠QMF＝k_QM＝.

因为∠QFM＝2∠QMF，

所以－＝.

将y＝3x－3代入并整理得

－2x＋(4＋2t)x₀－4t＝－2x－2tx₀＋t²＋3，

所以

解得t＝－1.即M(－1,0)．

综上，满足条件的点M存在，其坐标为(－1,0)．

思维升华　存在性问题的解题策略

存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．

(1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论．

(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．

(3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意．

跟踪训练1　(2022·淄博模拟)已知抛物线C：x²＝2py(p>0)的焦点为F，点M(2，m)在抛物线C上，且|MF|＝2.

(1)求实数m的值及抛物线C的标准方程；

(2)不过点M的直线l与抛物线C相交于A，B两点，若直线MA，MB的斜率之积为－2，试判断直线l能否与圆(x－2)²＋(y－m)²＝80相切？若能，求此时直线l的方程；若不能，请说明理由．

解　(1)由题意得，

因为点M(2，m)在抛物线上，所以2²＝2pm，

由抛物线的定义，得m＋＝2，

则解得

所以抛物线C的标准方程为x²＝4y.

(2)由(1)得M(2,1)，

设点A，B，

则k_MA＝，k_MB＝，

所以k_MAk_MB＝×＝－2，

得x₁x₂＋2(x₁＋x₂)＋36＝0；

设直线AB方程为y＝kx＋b，

由得x²－4kx－4b＝0，

所以x₁＋x₂＝4k，x₁x₂＝－4b，

所以－4b＋8k＋36＝0，得b＝2k＋9，

所以直线AB的方程为y＝kx＋2k＋9，

即直线AB恒过抛物线内部的定点N(－2,9)，

又圆M：(x－2)²＋(y－1)²＝80正好经过点N(－2,9)，

当且仅当直线AB与半径MN垂直时直线AB与圆M相切，

此时k＝－＝，

所以直线AB的方程为y＝x＋10.

题型二　圆锥曲线的综合问题

例2　(2023·福州模拟)如图，O为坐标原点，抛物线C₁：y²＝2px(p>0)的焦点是椭圆C₂：＋＝1(a>b>0)的右焦点，A为椭圆C₂的右顶点，椭圆C₂的长轴长为|AB|＝8，离心率e＝.

(1)求抛物线C₁和椭圆C₂的方程；

(2)过A点作直线l交C₁于C，D两点，射线OC，OD分别交C₂于E，F两点，记△OEF和△OCD的面积分别为S₁和S₂，问是否存在直线l，使得S₁∶S₂＝3∶13？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

解　(1)由题意知，a＝4，＝，

所以c＝2，所以b＝＝2，p＝4.

所以抛物线C₁的方程为y²＝8x，

椭圆C₂的方程为＋＝1.

(2)由题设知直线l的斜率不为0，

设直线l的方程为x＝my＋4.

则联立

得y²－8my－32＝0.

设C(x₁，y₁)，D(x₂，y₂)，

则y₁＋y₂＝8m，y₁y₂＝－32.

所以＝

＝＝＝，

因为直线OC的斜率为＝＝，

所以直线OC的方程为y＝x.

由得y²＝1，

则y＝1，

同理可得y＝1，

所以y·y＝1，

所以y·y＝，

要使S₁∶S₂＝3∶13，

只需＝²，

解得m＝±1，

所以存在直线l：x±y－4＝0符合条件．

思维升华　圆与圆锥曲线综合问题中，圆大多数是以工具的形式出现，解决此类问题的关键是掌握圆的一些常用性质．如：圆的半径r，弦长的一半h，弦心距d满足r²＝h²＋d²；圆的弦的垂直平分线过圆心；若AB是圆的直径，则圆上任一点P有·＝0.

跟踪训练2如图，过抛物线E：y²＝2px(p>0)焦点F的直线l交抛物线于点A，B，|AB|的最小值为4，直线x＝－4分别交直线AO，BO于点C，D(O为原点)．

(1)求抛物线E的方程；

(2)圆M过点C，D，交x轴于点G(t,0)，H(m,0)，证明：若t为定值时，m也为定值．并求t＝－8时，△ABH面积S的最小值．

解　(1)当直线AB的斜率不存在时，此时A，B，∴|AB|＝2p，

当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k，联立抛物线方程得k²x²－(k²p＋2p)x＋＝0，Δ＝(k²p＋2p)²－k⁴p²>0，设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，x₁＋x₂＝＝＋p，此时|AB|＝x₁＋x₂＋p＝＋2p>2p，显然当直线AB的斜率不存在时，|AB|的值最小，即2p＝4，解得p＝2，∴抛物线E：y²＝4x.

(2)设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，C(－4，y₃)，D(－4，y₄)，则直线OA的方程：y＝x，直线OB的方程：y＝x，

由(1)知，x₁x₂＝，

∴y₁y₂＝－2p＝－4，

∴y₃＝，y₄＝＝＝4y₁，

设圆心M(x₀，y₀)，则y₀＝＝2y₁－.

若G(t,0)(t为定值)，H(m,0)，则x₀＝.

由|MD|＝|MG|，得(x₀＋4)²＋(y₀－y₄)²＝(x₀－t)²＋y，

∴4t＋4m＋80＝－tm，

由于t≠－4，∴m＝也为定值．

∴H也为定点．

若t＝－8，则m＝12，S＝|FH||y₁－y₂|＝|y₁－y₂|＝≥×4＝22，

当且仅当y₁＝±2时取到最小值．

故△ABH的面积的最小值为22.

课时精练

1．(2023·德州模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点E，F分别为其下顶点和右焦点，坐标原点为O，且△EOF的面积为.

(1)求椭圆C的方程；

(2)是否存在直线l，使得l与椭圆C相交于A，B两点，且点F恰为△EAB的垂心？若存在，求直线l的方程，若不存在，请说明理由．

解　(1)由题意可知

解得

所以椭圆C的方程为＋＝1.

(2)假设满足条件的直线l存在，

由E(0，－2)，F(，0)，

得k_EF＝，

因为点F为△EAB的垂心，

所以AB⊥EF，

所以k_AB＝－，

设直线l的方程为y＝－x＋t，

代入＋＝1，

得7x²－6tx＋6(t²－4)＝0，

Δ＝(－6t)²－4×7×6(t²－4)

＝－96t²＋672>0，

即－<t<.

记A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

则

由AF⊥BE得·＝－1，

所以y₁y₂＋2y₁＋x₁x₂－x₂＝0，

将y₁＝－x₁＋t，y₂＝－x₂＋t代入上式，

得3x₁x₂－(t＋2)(x₁＋x₂)＋(2t²＋4t)＝0，

所以3×－(t＋2)·＋(2t²＋4t)＝0，

所以5t²＋t－18＝0，解得t＝ (t＝－2舍去)，

满足Δ>0，

所以直线l的方程为y＝－x＋.

2．(2022·苏州模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长为2，离心率为.设点M(m,0)(m≠0，m≠±a)是x轴上的定点，直线l：x＝，设过点M的直线与椭圆相交于A，B两点，A，B在直线l上的射影分别为A′，B′.

(1)求椭圆C的方程；

(2)判断|AA′|·|BB′|是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．

解　(1)由题意可知b＝1，＝，

又a²－b²＝c²，

∴a＝2，b＝1，c＝.

∴椭圆C的标准方程为＋y²＝1.

(2)当直线AB的斜率为0时，A，B分别为椭圆的左、右顶点，A′，B′均为，

则|AA′|·|BB′|＝·＝＝＝，

当直线AB的斜率不为0时，设直线AB的方程为x＝ky＋m，

联立方程组

消去y得(4＋k²)x²－8mx＋4m²－4k²＝0，

设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则Δ>0时，x₁＋x₂＝，x₁x₂＝，

∴|AA′|·|BB′|＝·

＝

＝＝.

综上，|AA′|·|BB′|为定值.

3．(2023·唐山模拟)已知抛物线E：y²＝2px(p>0)的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线交抛物线于M，N两点，|MN|＝8.

(1)求抛物线E的方程；

(2)在抛物线E上任取与原点不重合的点A，过A作抛物线E的切线交x轴于点B，点A在直线x＝－1上的射影为点C，试判断四边形ACBF的形状，并说明理由．

解　(1)设过点F且倾斜角为的直线方程为y＝x－，代入y²＝2px(p>0)，

得x²－3px＋＝0，若M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，则x₁＋x₂＝3p，

所以|MN|＝x₁＋x₂＋p＝4p＝8，则p＝2，

即抛物线E的方程为y²＝4x.

(2)设A(x₀，y₀)，则过A作抛物线E的切线为y－y₀＝k(x－x₀)，即x＝＋x₀，

代入y²＝4x，整理得ky²－4y＋4y₀－ky＝0，

因为此直线与抛物线相切，所以Δ＝4(4－4ky₀＋k²y)＝0，即(ky₀－2)²＝0，解得k＝，

所以过A的切线为y－y₀＝(x－x₀)，

令y＝0得x＝－x₀，即B(－x₀,0)，所以|BF|＝|AF|＝|AC|，

又AC∥BF，所以四边形ACBF有一组对边平行且相等，且邻边也相等，

所以四边形ACBF为菱形．

4.如图，抛物线C：x²＝2py(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上的一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点，准线l与y轴交于点S.

(1)若∠BFD＝90°，△ABD的面积为4，求p的值及圆F的方程；

(2)若直线y＝kx＋b与抛物线C交于P，Q两点，且OP⊥OQ，若点S关于直线PQ的对称点为T，求|FT|的取值范围．

解　(1)由∠BFD＝90°知，|FS|＝|BS|＝|DS|＝p，

设A(x_A，y_A)，

则y_A＋＝|FA|＝|FD|＝p，

S_△ABD＝·|BD|·＝×2p×p＝4，

解得p＝2(负值舍去)．F(0,1)，

所以圆F的方程为x²＋(y－1)²＝8.

(2)由题意得，直线PQ的斜率一定存在，

其中S，

设S关于直线PQ的对称点为T(m，n)，

则解得

联立y＝kx＋b与x²＝2py，得x²－2pkx－2pb＝0，Δ＝4p²k²＋8pb>0，

设P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，

则x₁＋x₂＝2pk，x₁x₂＝－2pb，

则y₁y₂＝(kx₁＋b)(kx₂＋b)＝k²x₁x₂＋kb(x₁＋x₂)＋b²，

则x₁x₂＋y₁y₂＝(1＋k²)x₁x₂＋kb(x₁＋x₂)＋b²

＝－2pb(1＋k²)＋2pk²b＋b²＝－2pb＋b²＝0，

解得b＝0(此时O与P或Q重合，舍去)或b＝2p，

所以|FT|＝

＝p∈(p,4p]．