玩一玩二次函数的“俄罗斯套娃”

二次函数作为中考数学压轴题的常见考点，在其基础上衍生出无数变式，它可以和一次函数、反比例函数整合，也可以与几何图形结合，而其中的动点问题，更是各地中考压轴题的熟客，抛物线不仅存在于直观图形，更与运动最值等息息相关，这其中对于二次函数及其图像的性质运用，须达到相当纯熟的程度，才能做到游刃有余，这一层又一层的二次函数关系，犹如俄罗斯套娃，你玩得转吗？

题目

如图，A(2,1)，B(2,0)，C为y轴上一动点，过A，C两点的抛物线为y=ax+bx+n(a≠0，a≠-1)，直线OA与直线BC相交于点P.

(1)若n=1，且抛物线恰好也过P点，如图1，直接写出抛物线顶点坐标为_____________；

(2)当抛物线同时经过A，C，P三点时，此时P必为该抛物线的顶点，请以n=2为例验证上述结论的正确性；

(3)若抛物线与直线BC有唯一交点C

①求a的值，并求当C沿y轴向上运动时，其顶点同时向下运动所对应n的取值范围；

②设过B另有一直线(与BC，AB不重合)，也与抛物线仅有一个交点，设为D，经探究发现：无论C在y轴上如何运动，直线CD一定经过一个确定不动点Q，请直接写出该不动点Q的坐标.

解析：

(1)当n=1时，点C坐标为(0,1)，我们可观察点A与点C纵坐标相同，在抛物线上，纵坐标相同的两个点一定是关于对称轴对称的，于是对称轴为x=1，接下来有多种方法可以“秒杀”：

A，B，C坐标均已知，可得直线OA解析式为y=1/2x，直线BC解析式为y=-1/2x+1，求得P(1,1/2)，然后将A，C，P三点代入抛物线解析式分别求出a,b,n，于是抛物线解析式为y=1/2x-x+1，化为顶点式为y=1/2(x-1)+1/2，于是顶点坐标为(1,1/2)；

四边形OBAC是矩形，根据对角线相等且互相平分，点P为BC和OA中点，即它的横坐标为1，在对称轴上，因此点P一定是顶点，利用中点公式秒了；

(2)当n=2时，点C坐标为(0,2)，此时OA解析式不变，依然是y=1/2x，而BC解析式变成y=-x+2，求得P(4/3,2/3)，同样可利用A，C，P三点坐标求出抛物线解析式为y=3/4x-2x+2，化为顶点式为y=3/4(x-4/3)+2/3，因此顶点恰好是P；

(3)作为本题的难点，首先需要理解抛物线与直线有唯一公共点的意义，通常我们会联立抛物线与直线得到一个一元二次方程，这个方程的判别式为零，记住这个方法，后面会多次用到它。

①又是一个令人费解的描述，当C沿y轴向上运动时，其顶点同时向下运动，点C坐标为(0,n)，只有一个参数n来控制它上下运动，抛物线顶点纵坐标必定是一个含n的二次多项式，究竟是什么呢？暂时不清楚，但目标是明确的，即将抛物线顶点坐标表示出来看看。

面对抛物线解析式y=ax+bx+n中的众多参数，能消一个算一个，利用题目条件中抛物线经过点A，将其坐标代入，得4a+2b+n=1，于是得到b=1/2-2a-n/2，于是抛物线解析式变成y=ax+(1/2-2a-n/2)x+n，直线BC的解析式可设为y=kx+n，再将点B坐标代入，得k=-n/2，于是直线BC解析式为y=-nx/2+n，现在我们联立它们得到一个关于x的一元二次方程，ax+(1/2-2a-n/2)x+n=-nx/2+n，整理后得到ax+(1/2-2a)x=0，根据△=0，我们可求出a=1/4，于是b=-n/2，至此抛物线解析式可化为y=1/4x-nx/2+n，这是一个只含参数n的一元二次方程，它的顶点坐标可表示为(n,n-n/4)，请注意它的纵坐标，是不是与我们先前的预测吻合？

将其纵坐标利用配方法化简得-1/4(n-2)+1，我们可以利用二次函数的图像性质，确定当n≥2时，顶点纵坐标随n的增加而减少，即向下运动，推导如下：

②由题意可知直线BD与抛物线仅有一个公共点D，不妨设BD的解析式为y=mx+d，代入B(2,0)，得到d=-2m，于是BC解析式可化为y=mx-2m，将其和抛物线联立得方程1/4x-n/2x+n=mx-2m，同样求其判别式△=1/4(n+2m)-(n+2m)=0，我们提个公因式再来看，(n+2m)[1/4(n+2m)-1]=0，意味着m=-n/2或m=2-n/2，请注意，题目中说了它与BC，AB不重合，而在前面我们求得BC的解析式中k=-n/2，于是m≠-n/2，所以m=2-n/2，再求出d=n-4，现在我们知道BD的解析式为y=(2-n/2)x+n-4，将其与抛物线联立，得方程1/4x-n/2x+n=(2-n/2)x+n-4，整理得1/4x-2x+4=0，可求出x=4，于是点D坐标为(4,4-n)；

此时我们设CD的解析式为y=px+n，将点D坐标代入，得到p=1-n/2，于是CD解析式化为y=(1-n/2)x+n，它一定经过一个确定的不动点Q，怎么寻找这个点呢？

抓住“不动”二字，即无论n取何值，总有一对x，y的值满足，不妨将所有含n的式子中因数n提出来，得到y=x+n(1-x/2)，这就可以看出来了，当x=2时，y=2，与n无关，所以点Q坐标为(2,2)，推导如下：

解题反思

在参数n确定的时候，本题难度一般，涉及到抛物线与直线有唯一交点的问题也曾无比熟悉，然而在理解顶点向下运动的时候，需要建立起它的纵坐标与二次函数图像的关联，相当于在原题的二次函数中又嵌套了一次，而在研究直线过定点类的问题时，一定要牢记直线过定点的基本方法，即与解析式中的参数无关，什么叫无关呢？即化为关于这个参数的方程，让它的系数为零，这样就能保证无论参数如何变化，恒成立，从而求解出需要的结果。

从这道题目中，至少我们知道参数控制点的运动，如果是参数的一次多项式，则点沿直线运动，如果是二次多项式，基本上沿抛物线运动，就一定存在“忽上忽下”的运动路线，这极容易迷糊，而要理清它如何动，归根到底还是建立在对二次函数图像特征的深度理解上。