不变的判别式

一个大风子 2023-07-21 发布于黑龙江

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本文的素材来自一个学生问题，涉及到大家都熟知的判别式。细细挖掘，可以发现一些有趣的结论，能帮助大家更深入理解判别式，当然也包括解题。

学生的问题：

设 $A , B$ 分别是将关于 $x$ 的二次三项式 $a x ^ { 2 } + b x + c$ 到 $a ( x - 1 ) ^ { 2 } + b ( x - 1 ) + c$ 、 $a + b ( x - 1 ) + c ( x - 1 ) ^ { 2 }$ 的变换。若我们可以通过几次 $A，B$ 变换，将 $x ^ { 2 } + x + 2$ 变换到 $4 x ^ { 2 } - 19 x + k$ ，则实数 $k$ =________.

我们知道二次函数 $y = a x ^ { 2 } + b x + c$ 的顶点纵坐标为 $\frac{- \Delta}{4a}$ ， $A$ 变换的平移是不改变顶点纵坐标和 $a$ 的值的，所以保持不变。而 $B$ 变换只是将系数从 $a x ^ { 2 } + b x + c$ 变成了 $c x ^ { 2 } + b x + a$ 之后再进行 $A$ 变换，根据 $\Delta=b^{2}-4ac$ ，其值也保持不变。所以无论进行多少次 $A$ 或 $B$ 变换， $\Delta$ 永远不变。原来的 $\Delta = - 7$ ，所以 $19 ^ { 2 } - 16 k = - 7$ ，得 $k = 23$ .

既然提到判别式保持不变，不得不说一下另外一个例子：

上中自招题：

二次函数 $y = a x ^ { 2 } + b x + c$ 的图像与 $x$ 轴有两个交点 $M、N$ ，顶点为 $R$ ，若三角形 $MNR$ 恰好是等边三角形，则 $b ^ { 2 } - 4 a c$ =（）

分析：

运用这道题的结论我们就可以迅速完成下面这道题：

交附自招题：

二次函数 $y = 2 ( x - 2 ) ^ { 2 } + m$ 的顶点为 $A$ ，与 $x$ 轴交于 $B、C$ 两点，若 $\Delta ABC$ 为正三角形，则实数 $m$ 的值为（）

分析：

解析式不需要展开，由于平移保持判别式不变，所以算 $y = 2 x ^ { 2 } + m$ 的判别式 $\Delta=-8m=12$ 得 $m = - \frac { 3 } { 2 }$ ；也可以用顶点纵坐标： $\frac{- \Delta}{4a}=m$ ，得 $m = - \frac { 3 } { 2 }$ .

是不是轻而易举，毫无计算量！

再来看看下面这道证明题：

已知 $a _ { i } , b _ { i } ( i = 1 , 2 , 3 )$ 为实数，且 $a _ { 1 } ^ { 2 } - a _ { 2 } ^ { 2 } - a _ { 3 } ^ { 2 }$ 与 $b _ { 1 } ^ { 2 } - b _ { 2 } ^ { 2 } - b _ { 3 } ^ { 2 }$ 中至少有一个是正数。证明：关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+2(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3})x+(a_{1}^{2}-a_{2}^{2}-a_{3}^{2})(b_{1}^{2}-b_{2}^{2}-b_{3}^{2})=0$ 必有实数根.

分析：

本题只需证明 $\Delta \geq 0$ ，由题意不妨设 $a _ { 1 } ^ { 2 } - a _ { 2 } ^ { 2 } - a _ { 3 } ^ { 2 } \gt 0$ ，

原题的判别式等同于 $f(x)=(a_{1}^{2}-a_{2}^{2}-a_{3}^{2})x^{2}+2(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3})x+(b_{1}^{2}-b_{2}^{2}-b_{3}^{2})$ 的判别式，顾只需要说明有 $x = x _ { 0 }$ 使 $f ( x _ { 0 } ) \leq 0$ ，就有 $\Delta \geq 0$ .

而 $f ( x ) = ( a _ { 1 } x + b _ { 1 } ) ^ { 2 } - ( a _ { 2 } x + b _ { 2 } ) ^ { 2 } - ( a _ { 3 } x + b _ { 3 } ) ^ { 2 }$ ，

很明显 $f ( - \frac { b _ { 1 } } { a _ { 1 } } ) \leq 0$ ，所以 $\Delta \geq 0$ ，顾原方程有必有实数解。

总结笔记：

1、二次函数左右平移，判别式保持不变；

2、二次函数 $y=ax^{2}+bx+c、y=cx^{2}\pm bx+a、y=x^{2}\pm bx+ac$ 的判别式都相等；

3、若二次函数图像顶点与 $x$ 轴的两个交点构成的三角形为等边三角形，则判别式为定值12.

思考：若二次函数图像顶点与轴的两个交点构成的三角形为等腰直角三角形，则判别式的值是多少？

你学会了吗？练练手吧

原创改编题：

设 $\Omega$ 是将 $y = a x ^ { 2 } + b x + c$ 到 $y = c ( x + 1 ) ^ { 2 } + b ( x + 1 ) + a$ 的变换。若二次函数 $y = 2 ( x - 2 ) ^ { 2 } + m$ 经过 $\Omega$ 变换之后，新抛物线顶点与 $x$ 轴的两个交点构成的三角形为等腰直角三角形，则实数的值为________。

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