文末左下角”阅读原文“查看《初中数学型题思路分析》. 已知二次函数 y=ax²+bx+c(a≠0)的图象求系数a、b、c以及相应的关系式。小章鱼,你怎么看? 我……我,好好看看! 有点难吧?送你一件制胜法宝——数形结合思想。拿走! 基 础知识 1、由抛物线的开口方向确定a的大小 2、由对称轴的位置确定b、ab ![]() 3.由抛物线与y轴的交点确定c的大小 ![]() 4.由抛物线与x轴的交点位置确定Δ=b²-4ac ![]() 5.由对称轴为x=±1时确定2a±b ![]() 特殊式子 1 ● a+b+c → 令x=1,看纵坐标 2● a-b+c → 令x=-1,看纵坐标 3● 4a+2b+c → 令x=2,看纵坐标 4● 4a-2b+c → 令x=-2,看纵坐标 ![]() ![]() 题型1 考察知识:判断abc的符号 出题方式:结合图象,请判断abc>0是否正确; 解题思路:①根据二次函数开口方向判断a的符号;②根据对称轴的位置以及a的符号,判断b的符号;主要运用“左同右异”四字口诀解决问题;③根据抛物线与y的交点判断c的符号; 题型2 考察知识:寻找特殊点产生的特殊代数式 出题方式:结合图象,请判断a+b+c<0是否正确 解题思路:①结合式子,判断二次函数上的特殊点;②利用数形结合思想,判断代数式的符号; 特别说明:在第一部分第6点里面写明了x=±1和x=±2时候的特殊式子,对于自变量取整数的特殊式子,我们不难发现;但是对于自变量取分数的时候,学生却往往容易忽略,没有思维,比如x=±1/2时,得出的代数式应该是1/4a±1/2b+c,类似这种需要多练习; 题型3 考察知识:二次函数与x轴的交点 出题方式:结合图象,请判断b²>4ac是否正确; 解题思路:①观察函数图象是否完整;②如果不完整,请补充完整,主要是补充与x轴的交点;③根据图像与x轴的交点个数,判断△的符号; 题型4 考察知识:顶点纵坐标 出题方式:结合图象,请判断b²-4ac>8a是否正确; 解题思路:①首先这类式子不仅只有b²-4ac,还有别的字母(一般是a)或者数字;②联想到顶点纵坐标进行解题;③所以结合图象判断顶点纵坐标的取值或者取值范围; 特别说明:此类题型,一定要与题型3区别开来。 题型5 考察知识:二次函数对称轴 出题方式:结合图象,请判断2a±b>0是否正确; 解题思路:①根据二次函数图象确定对称轴方程或者范围;②如果对称轴为x=1,则可得到2a+b=0;如果对称轴为x=-1,则可得到2a-b=0;③对称轴为其它具体确定的数,做法类似;④如果对称轴不确定,能确定范围,则一样可以求解,比如对称轴在1和2之间,且开口向上,则可得到1<-b/2a<2,则可得到2a+b<0或者4a+b>0; 特别说明:一般情况下,只要题目中让我们判断的关系中只有a和b,则让对称轴着手进行考虑和计算。 题型6 考察知识:二次函数对称轴拓展 出题方式:结合图象,请判断3a+c>0是否正确; 解题思路:①根据二次函数图象确定对称轴方程或者范围;②以上面式子为例,如果对称轴为x=-1,则可得到2a-b=0;即可以得到b=2a;③所以3a+c=a+2a+c=a+b+c,即3a+c的值就等于x=1时二次函数的取值;其它代数式的解法类似上面的解题思路。 特别说明:此类题型,一般让我们判断的代数式中只有a、c或者b、c,我们首先明确考点就是对称轴方程,其次用消元法进行求解,最后得出代数式关系。 题型7 考察知识:数形结合+代数式技术处理 出题方式:结合图象,已知二次函数对称轴为x=1,二次函数上一动点横坐标为m,请判断am²+bm>a+b是否正确; 解题思路:①首先明确此类题型进行计算,一般是无法解决的;②观察式子,进行技术处理,两边同时加上c,则可判断am²+bm+c>a+b+c是否正确;③左边即当二次函数自变量取值为m时的值,右边为二次函数自变量取值为1时的值;④若二次函数开口向上,则am²+bm+c≥a+b+c;若若二次函数开口向下,则am²+bm+c≤a+b+c; 特别说明:此类题型,一定要思路清晰并且利用数形结合思想去解题,不要盲目做题。 例1、已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,给出以下结论:① a+b+c<0;②a-b+c<0;③b+2a<0;④abc>0 .其中所有正确结论的序号是( ) A.③④ B.②③ C.①④ D.①②③ 解析:由图可知,开口向下,a<0,对称轴为正,即x=-b/2a>0,ab异号,b>0,与y轴交点在y轴上方,c>0 ① 当x=1时,结合图像,此时y=a+b+c>0, ①错误 ② 当x=-1时,结合图像,此时y=a-b+c<0, ②正确 ③由图可知x=-b/2a<1,a<0,变形得到b+2a<0,③正确 ④ a<0,b>0,c>0,∴ abc<0 ,④错误, 答案:B 大部分学生这类都能做,下面我们看个进阶版 例题1、如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分;图象过点A(-3,0),对称轴为x=-1,给出四个结论:①b2>4ac;②2a+b=0;③a-b+c=0;④b>4a.其中正确的是________________.(填序号) 解析:①补全图像,由图可知抛物线与x轴有两个不同交点,∴b2-4ac>0,①正确 ②对称轴,变形得2a-b=0,②错误 ③当x=-1时,a-b+c>0,③错误 ④怎么分析呢? 这个时候就需要“对称轴+两交点”来消元 结合图像我们知道: 当x=-3时,9a-3b+c=0, (1) 当x=-1时,a-b+c>0, (2) 将(1)式带入(2)可消掉c,得b>4a∴④正确 方法总结 解决这类题型一般会用到三种方法: 1、数形结合法;2、赋值法;3、消元法。 ![]() |
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