为什么微积分的严格化是如此重要

    大家可能听过这样一段话——存在即被感知。这是贝克莱大主教说的，他在数学上最著名的言论是对牛顿的微积分发出过灵魂拷问：

    “这些流数到底是什么？逐渐消失的增量速度有多么大？这些相同的逐渐消失的增量是什么？它们既不是有限的量，也不是无穷小的量，更不是零。难道我们不能把他们称为消失的量的鬼魂吗？”

    雨露均沾，当然他也没有放过莱布尼茨，他曾经说：

    “承认一个无穷小量的概念超出了“我的能力”，接受像dx这样无穷小量的无穷小部分“对任何人来说都是无限困难的”。

    主教的喷人水准之高，世所罕见。第一，他喷的时候牛顿和莱布尼茨都已经去世了，因此不涉及人身攻击，这一点上与现在的网络喷子一言不合就问候祖宗可谓是天差地别。第二，他的这些话事实上并没有否认微积分结果的正确性，而是在反对背后的逻辑性。他说过：“错误也许能产生真理，但是并不会产生科学。”可谓是一针见血，即使是牛顿，莱布尼茨在世也未必能够反驳。

    他指出微积分中存在的问题是客观存在的，并不是无中生有。那时候大多数的科学家沉溺于微积分的巨大威力，在自然领域使用这个新武器，开疆拓土做出了很多卓越的成果，可是这门学科的基础却如此不牢靠。大厦轰然倒塌的概率随着成果的越来越多，也会越来越高。

    为了让大家能够清楚看出问题所在，我会举出几个例子。首先是一个很简单的一个例子，相信大家很容易就会想起初高中老师的那个忠告，不要随便地➗0，但是相信我，在微积分中事情会隐蔽的很多。

    当时的人们在使用微积分的时候，完全不会管极限的存在性。就会出现像下面看似无懈可击，实则荒谬无比的结果。

    同样的手法得到的结果，为什么我们会相信第一个而不相信第二个。滥用微积分我们就会得到无限个正数加起来会得到一个负数的荒谬结论。如果我们将上面发散级数的例子稍作一下改变，会得到下面发散序列的例子。

    论证也十分合理，但只要我们取x=2,那么上面的论证就是在说2，4，8，16，32，64......这样的数列是趋近于0的。稍加思索也知道这样的结果是荒谬的。当时的人们就是这样使用微积分的，所以你对这样使用得出来的结果还敢百分之百放心吗？

    那么上面这些问题的出路是什么。当时柯西，戴德金，魏尔斯特拉斯等人做了大量的工作，主要涉及：

• 构建实数系统：从实数系统开始严格构建微积分。实数是一种连续的数学结构，可以被认为是有理数的“完整化”，包括了所有实数轴上的点。依赖于公理化集合论或者实数公理建立起实数系统，其中包括了关于实数的基本性质，如有序性、连续性、确界性等。

• 构建函数理论：微积分的核心概念是函数。严格化的过程中，需要建立函数的精确定义和性质。函数可以通过公理化集合论或集合论的派生理论进行定义，并确保其满足各种要求，如定义域、值域、连续性等。

• 严格的极限理论：极限是微积分的重要概念。严格化的过程中，需要建立严格的极限理论，包括点极限、序列极限和函数极限的定义和性质。利用实数系统和函数理论，可以更准确地描述极限的概念和性质。

• 严格的导数和积分理论：导数和积分是微积分的两个核心操作。严格化的过程中，需要建立导数和积分的严格定义和计算方法。引入极限的概念，可以定义导数和积分，并建立它们的基本性质，如导数的链式法则、积分的换元法等。

• 严格的理论证明：严格化微积分还需要建立形式严密的理论证明。在数学中，证明是确保结论正确性的关键步骤。采用严格的逻辑推理和符号化方法，可以确保微积分理论的一致性和准确性。

    在这些工作的推动下，微积分严格化的路程被走完了，我们得到了严格的分析学，让一切如此安稳牢固，似乎可以高枕无忧，但未来的事谁又能说得清呢？不过起码现在我们可以放心大胆地使用这些理论，而不必担心大厦轰然倒下。