新平面几何100题第1题

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今天，与大家分享《禁书》的第一题。题目稍有改动。未加特殊说明，默认 为直线而非线段或者射线；比例式为平行或共线的有向线段之比。 为有向角记号。 分别为点列交比和线束交比记号, 可前往纯几何吧1918的16楼或5000的1.2节了解。本文只用到调和的情况. 可以大致认为调和等价于交比等于

题目.(新平面几何100题-1) 设 是 的一个等心, , 且满足 设 是 到直线 的垂足, 证明:

想要先看本人解答的读者可跳至文末。

众所周知，平面几何中连线是非常困难的图形，因为中点、垂线、圆等图形都自带性质，但唯有连线意味着没什么性质，要结合别的条件推断其性质。而在本题中，区区7个点的图形中有三根连线（在图中用红色标出），这无疑是非常恐怖的。

而我对题目稍作分析后，发现两件事。其一，比例式表示 也就是调和点列，结合 容易想到把以 为直径的圆作出，这样B,C就关于这个圆互为反演点。

其二，也是我很想跟大家分享的想法，就是图形的自由度分析。对此已有了解的读者可以跳至3段以后。自由度指一个图形至少可以由几个参数决定，下面举一些例子。在笛卡尔平面坐标系中，一个点有两个坐标值，横坐标和纵坐标（这和中学课内表述并不一致，应当注意），因此一个点的自由度为2。当然，两个点的自由度为4，三个点的自由度为6。所以一条线段的自由度为4，一个三角形的自由度为6。不过应当注意，虽然一条线段的自由度为4，但一条直线的自由度其实是2，因为直线的位置只由一般式 中的系数比决定，而两元比例的自由度为1，三元比例的自由度为2，所以直线的自由度也为2。还有一种理解方式，就是直线可以由直线的方向和到原点最近的点确定。方向的自由度为1，方向确定后到原点最近的点只能在一条定直线上动，所以该点的自由度为1，所以直线的自由度为2。

平面几何中自由度分析往往只关注图形的形状，忽略图形的绝对位置、绝对角度、绝对大小，而注重图形的相对位置、夹角和比例。因此，考虑一个初始给定的三角形，如果忽略位置、方向和大小，只关注其形状，那么其自由度为2，因为两个内角的大小就能确定三角形的形状。如果已经给定了一个三角形，再画一个三角形时，这时第二个三角形于第一个三角形的相对位置、夹角、大小比例都会改变整个图形的形状，因此第二个三角形每个顶点的自由度为2，整个图形的自由度为

平面几何问题中，常常以一般三角形作为参考图形，或者说背景图形，所有的条件都建立在这个三角形之上。如果整个图形的自由度为2，就意味着当参考三角形形状确定后，整个图形的形状就唯一确定，或只有有限种可能。例如， 三角形的自由度为2，点 并非在一个二维空间或者一维空间中自由移动，而是只有有限个位置，因此其自由度为0，整个图形的自由度为2， 形状确定后整个图形的形状也只有两种。不过也有一些特殊的题目，不以一般的三角形作为背景图形，而是以正三角形、矩形等特殊图形作为背景图形。稍加分析便可以知道，正三角形的自由度为0，矩形的自由度为1，原因留给读者思考。

（“跳至”之目的地）回到原题。本题以一般的三角形作为背景图形，其自由度为2，但此后点对 的自由度为1，也就是整个图形的自由度为3。当图形的自由度为时，可以考虑保留单自由度+轨迹分析，即固定自由度为 的一部分，只保留一个自由度（比如一个在定直线、定圆等图形上的动点），然后看整个图形的运动情况。一般来说运动情况越简单，这种分析方式就越成功。然而，在本题中，如果固定 让点对 运动，虽然 是定点，但 的运动非常诡异。因此这样的轨迹分析是相对复杂而困难的。

此时可以考虑保留不同的自由度. 主要有两种想法。一种，尝试固定 这样最困难的点 就是定点，但此时 关于以 为直径的圆互为反演点，而 则要将直线 关于 对称相交得到 再连接 挺复杂的。还有一种，考虑到如果想用反演的话只要反演圆不动就行了，所以让 和 固定，让 在直线 上运动，这样就只有两个动点了，好像这个好一些。但是，做几何证明，结论端也很重要。（虽有点无耻）根据题目的结论，有向角 因此，固定 的话 的轨迹必为过 的定直线。

知道轨迹是好的还不够，还要确定一下轨迹。做这道题时想必许多人会选择作出 证明其在圆上。这里我提供另一思路：确定，就是找到定的东西。注意 为定直线，如果作出 理论上这是定点，而且是 的极线与 的交点，因此作出 的反演点 也就理所当然了。由反演性质, 共圆。

接下来有点难想，由于 的 旁心 是 关于 的对径点，又恰巧 的极线垂直于 所以 在 的极线上。坦白说，这是我用几何画板观察到 的圆心 的轨迹为直线时才想到的，说实话不太应该。至此，此题的脉络已经基本理清。最后就是快乐的写过程时间。

转化后的问题： 记以 为直径的圆为 与 的另一交点为 且 关于 互为反演点， 关于 互为反演点， 的圆心为 ， 关于 对称， 以 为一个等心（内心或旁心）。证明 共线。

由于 为 的两个等心， 共线，记 则 设 则由于 为 关于 的极线，所以 所以 即 共线. 结合极点极线知识可知 易得原题等角结论。