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题目：等边△ABC中，点D为直线AB上一动点，连接DC．若点D在AB延长线上，点G为线段DC上一点，点F在CB延长线上，连接FG、AG．在点D的运动过程中，若∠GAF+∠ABF＝180°，且FB﹣BD＝AC，猜想线段CG与线段DG之间的数量关系，并证明你的猜想；
1、∠GAF+∠ABF＝180°这个条件如何用？ ①在△ABF中，由三角形内角和得：∠1+∠3+∠ABF=180°； ②由题目已知条件：∠GAF+∠ABF＝180°，即∠1+∠2+∠ABF=180°； ③等量代换得到：∠2=∠3
2、FB﹣BD＝AC这个条件如何用？ ①因为FB﹣BD＝AC，即FB=BD+AC ②因为等边△ABC，即AB=AC ③等量替换得到：FB=BD+AB=AD 3、一边一角构全等 由AD=FB、∠2=∠3可以构造全等三角形，有两种构造方法：
方法1： ①截取FH=AG，则△DAG≌△BFH（SAS）; ②由△DAG≌△BFH得DG=BH、∠FHB=∠AGD，则∠AHB=∠AGC； ③因为∠ABC=60°，所以∠1+∠3=60°，又∠2=∠3，即∠1+∠2=60° ④又因为∠2+∠GAC=60°，即∠1=∠GAC ⑤在△AHB和△AGC中，∠AHB=∠AGC、∠1=∠GAC、AB=AC，所以△AHB≌△AGC，所以HB=CG ⑥又因为HB=AG，所以HB=CG=AG 方法2： ①作AH=FA，则△FBA≌△ADH ②由△FBA≌△ADH可以得到： AB=DH=AC； ∠1=∠H=∠GAC ③可以证得△DGH≌CGA，即DG=CG 总结： 1、倒角，敏感性，能发现对应角相等； |
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