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这是在今日头条上看到的中考压轴几何题。老师说会的基本都上了名牌大学，还有60%的人一辈子不会。有那么难吗？ 题目：在等腰直角△ABC中，∠A=90°，F是AC的中点，AD⊥BF交BF于E，求证：BD=2CD。  中考压轴几何题 解题分析：△ABC是等腰直角三角形，F是腰的中点，说明AF/AB=1/2，如果CD/BD也是1/2，我们有多种方法作辅助线解题，下面就是一种。 延长BA到G，使AG=AF，那么AG/AB=1/2，我们只要证明AD∥GC，就有CD/BD=AG/AB=1/2。  作辅助线 证明两直线平行，通常用同位角相等、内错角相等、同旁内角互补来证明。这里正好有一对内错角∠ACG和∠CAD，我们来看看这两个角是否相等。 △AFG也是等腰直角三角形，∠FCG+∠FGC=∠AFG=45°，∠EAF=∠ABE，所以∠EAF+∠DBE=45°，如果∠ACG=∠CAD，则有∠FGC=∠DBE，我们证明它们相等即可，以上过程可以反推。 因为△ACG≌△ABF， 所以∠AGC=∠AFB， 即∠FGC+45°=∠DBE+45°， 得到∠FGC=∠DBE， 因为∠FCG+∠FGC=∠EAF+∠DBE=45°， 所以∠FCG=∠EAF，AD∥GC。 根据平行线的性质，BD/CD=AB/AG=2/1，即BD=2CD。 我的方法：作FR//DC，交AD于R，则RF=1/2DC，再证明RF=1/4BD（需要一点点智慧，利用相似三角形），即可得证：BD=2DC。哈哈哈哈哈😄，如何？ BAF相似AEF，EF：EB=1：4，所以ADF:ADB=1：4，所以ADC:ADB=1:2，所以BD=2CD。 所谓中考压轴题？小学完全可以做。补齐过方形ABMC，延长AD交MC于N，△ABF≌△CAN →NC=AF=½AB →N是MC中点， →S△NDC:S△CDA=1:2 S△CDA=1/6S正 S△ABD=1/3S正 →S△CDA:S△ABD=1:2 →CD:BD=1:2 →BD=2CD 根据直角三角形AEB和FEA相似并2：1，求出BE=2AE，AE=2EF。所以FG=0.25BD，而FG=0.5DC，结论得证。  还是作者的解法最简便。为了考试推荐一下设数字法。（虽然计算繁琐，但不用过多费脑）。首先在BC上取一点G，使BG=DC，设EF=1，可以得出AB=2（根号5），过A点做AO垂直于BC于O，交BF于K，得出KE=2/3，OD=（根号10/3），所以BG=GD=DC=2/3（根号10） 最简单的辅助线 过D作DM DN垂直AB AC ABF中 三边比 1:2:g5 DM:AD=2:g5 DN:AD=1:g5 (其实就是正弦 余弦） SABD:SACD=DM:DN=BD:DC=2 GF⊥BC，则 点F 是 三角形GBC的垂心，得BF⊥GC，得AD//GC。 过C作BF的垂线交BF延长线于m，AB：AF=2，则BE：AE=2，BE：DE=3，Cm=AE，则DE：Cm=2：3，BD：BC=2：3，BD：CD=2 直接用余弦定理列方程就可以得到BD为3分之2倍根号2AB，CD为3分之1倍根号2AB，所以BD＝2CD 俺最喜欢用暴力解题  过C作CG垂直于AD，垂足为G。易证△AGC≌△BEA，GC＝AE，△AGC中，EF∥GC，AE＝1／2AG＝1／2BE，故，GC＝1／2BE，而△DGC∽△BED，∴BD＝2DC 过F做ed的平行线交cd于G.显然be=4ef，所以bd=4dg.因F为中点，G也为重点，所以cd=2dg.所以bd=2cd 12345模型，不用辅助线，EF =1, AE =2, BE=4, DE=4 /3,AC=2根号5，BD=4 根号10/3，BC=2根号10，CD=2根号10/3，BD=2CD 借花献佛 △AGC≌△AFB ∠EAF＝∠ABF＝∠ACG ∴AD∥GC  补全正方形，利用重心定理也可证。一般地，等腰直角三角形，放在正方形中，问题便会简化。 哪里需要辅助线？ AF:AB=1:2 1:2:g5 SABD:SADC=2:1 BD:CD=2 (过D分别向AB AC作高 ，高的比是2:1）  补齐正方形ABMC，设AD延长线交MC于N， △ABF≌△CAN →NC=AF=½AB △ABD∽△NCD →AB:NC=BD:CD →BD=2CD   |
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