【原】多元函数的无条件极值

定理1

设x₀为函数f的极值点，且f在x₀可偏导，则f在x₀的各个一阶偏导数都为零，即

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使f的各个一阶偏导数都为零的点称为驻点。

定理2

设(x₀,y₀)为f的驻点，f在(x₀,y₀)附近具有二阶偏导数。记

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则

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称为f在x₀处的海塞矩阵。当H为正定矩阵时，f在x₀处取极小值，当H为负定矩阵时，f在x₀处取极大值，当H为不定矩阵时，x₀不是f的极值点，当H为半正定矩阵或半负定矩阵时，x₀是f的可疑极值点(即可能是极值点也可能不是极值点)。此时可以用多原函数的泰勒公式进一步判断。

    其中，正定矩阵和负定矩阵的定义已经在二次型中讲过。一个矩阵H为不定矩阵是指既存在向量使它对应的二次型为正，又存在向量使它对应的二次型为负。半正(负)定矩阵的定义只需将正(负)定矩阵的定义中的＞(＜)符号改为≥(≤)即可。

    另外，上述定理也可以推广到一般的多元函数。