【原】柯西积分公式和解析函数的高阶导数

柯西积分公式

若函数f(z)在正向(逆时针方向)简单闭曲线C上及内部解析，则对于C内部的任意一点z₀有

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上式表明，C内任意一点的函数值可以用边界C上的函数值表示出来，即解析函数在区域内局部的值决定了整个区域上的值。这跟解析延拓的唯一性是一致的。

当C为圆周

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时,由柯西积分公式可以得到

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即在圆周及其内部解析的函数，它在圆心处的值等于在圆周上的平均值。

解析函数的高阶导数公式

若函数f(z)在正向简单闭曲线C上及内部解析，则对于C内部的任意一点z₀有

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上述定理表明，解析函数在解析区域内存在任意阶导数，且各阶导数都解析。这一点与实函数不同，因为实函数可导不能保证高阶导数的存在。