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26. △ABC 中, AB=AC,⊙O 为 △ABC 的外接圆, OD⊥AC, 垂足为 D, 直线 OD 分别与 ⊙O 、直线 BC 交于点 F,E,AF 交 BC 于点 G. (1) 求证: AC=CG; (2) 若 BE=CG, 求 ∠BAC; (3) 若 BC=6, 试探究随着 CG 增大, BE 如何变化, 并说明理由.  1.简证: 法1:连接BF.EF为AC中垂线(垂径定理),弧FA=弧FC,∠ABF=∠CBF=∠CAF,∠ACB=∠CAF+∠G 又∠ACB=∠ABC=∠ABF+∠CBF=2∠CAF,所以∠CAF=∠G,所以AC=CG  法2：连接CF.EF为AC中垂线(垂径定理),∠CAF=∠ACF,∠CFG=∠CAF+∠ACF=2∠CAF 简单说明下∠CFA+∠ABC=180°(它们所对圆心角和为360°，圆周角等于圆心角一半) 由此得∠CFG=∠ABC，∠ACB=∠CAF+∠G,又∠ABC=∠ACB,得∠CFG=∠CAF+∠G=2∠CAF 所以∠CAF=∠G,所以AC=CG  (2) ①当E在B点左侧，连接AE，由(1)，易证△ABE≅ACA,设∠CAG=α,则∠EAB=∠CAG=α,EF为AC中垂线(垂径定理),所以∠EAC=∠ECA=2α,所以∠BAC=α α+2α+2α=180°,α=36°  ②当E在B点右侧，连接AE，设∠CAG=α,则∠ACB=∠ABC= 2α,因为BE=CG=AB,所以∠BAE=∠BEA= 90°-α, ∠AEC=∠ABC+∠BAE=90°+α, EF为AC中垂线(垂径定理), ∠DEC=1/2∠AEC=45°+1/2α,在三角形EDC中∠DEC+∠DCE=45°+1/2α+2α=90°,得α=18°, ∠BAC=∠BAE+∠CAE=90°-α+2α=108°(第一次漏掉了这种情况感谢@匪惑与凡的提醒)  (3)有圆幂定理储备的同学做起来就容易多了（迅速得到线段的关系，虽然不能直接用，但看出东西，改成用相似形做就好了，这叫高高举起，轻轻放下） 连接AO并延长交BC于H.易证AH⊥BC，要求找CG与BE的关系，ADHE四点共圆， 立即有CD*CA=CH*CE,而CD=1/2CG，有了这思路，框架基本就完成了。 设CG=x,BE=y,(1/2)x*x=3(y+6),y=(1/6)(x^2)-6，这是一个抛砖引玉的方程，由此， 我们就要想到弄清x的范围，零点 显然AB+AC>BC,得x>3。 y还可能为负，这就启发我们E点可能在B点右侧 找零点x=6，当x=6时候,y=0，说明E与B重合 那显然要分成3<x<6 x=6 x>6三种情况讨论了。 ①当x>6,E在B左侧,由△AHC∼△EDC 得到CD*CA=CH*CE y=(1/6)(x^2)-6 ，y随x增大而增大  ②当x=6时候,E与B重合 ③当3<x<6时候,E在B右侧,由△AHC∼△EDC 得到CD*CA=CH*CE y=6-(1/6)(x^2),y随x增大而减小  |
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