|
引言： 一个数学爱好者的学习过程，大抵可分为三个阶段。第一个阶段就是简单的认识各种各样的数和运算，一般都是加减乘除有时候会有一点指数对数。这个时候，山是山，水是水。 而后，数学爱好者们并不满足于现状，他们会认为这些基础的运算本质上都是加减乘除，并没有接触到真正“高等”的数学的门槛，于是他们会继续学习，直到学到了微积分、线性代数，他们很高兴，觉得终于发现了加减乘除以外的世界。这个时候，山终于不再是简简单单的山，水也不再是普普通通的水了。 后来，他们继续学习，学到了微分方程、傅里叶变换等等，他们恍然发现，他们所作的运算，本质上还是加减乘除。这个时候，山终究还是山，水也还是水。 1、 在上一期《e和π的梦幻联动》发布后，有朋友希望我能做一期巴塞尔问题的证明。那么在证明之前，我先给大家介绍一下什么是巴塞尔问题。 我们可以先来看一个无穷级数
展开来就等于
那么这个级数是收敛的还是发散的呢？如果是收敛的，那么会收敛到哪个值呢？ 我们先解决第一个问题，很显然，这个级数小于以下级数
将这个级数改写一下就是
等于
很明显，这是一个等比数列，而且公比小于1，这个数列收敛，所以
肯定也是收敛的。 那么它的值是多少呢？ 这就是著名的巴塞尔问题。 2、 关于巴塞尔问题的证明有很多，其中欧拉的证明方法是最为著名的。但是我们这里先介绍另一种更为硬核的方法，也跟我们最近的主基调是相匹配的，也就是积分分析。 首先，我们可以根据级数中所有的n分为奇数偶数两部分，即
我们把第一项的括号拆开，得到
我们就这样得到了它与原函数之间的数量关系。 同时我们其实也可以得到另一项与原方程的数量关系，即
所以
3、 到目前为止都还是非常直观的，接下来我们希望的是将这个2n-1用别的代替掉，最好是一个什么东西加1或者减1。我们能发现定积分
利用分部积分的公式（也就是我在前面的文章《这个东西和π有啥关系？》中提到的乘法法则的逆法则）运算，得
再做一次积分，得
将0和1带进去相减，得出结果正好为
如果我们这里用的是从0积分到1的话，这个结果前面要加一个负号，所以从1积分到0是最合适的。而且这个细节到后面还有用。 接着我们就可以将m带入到原式中，令m=2n，而且因为这里是加1，所以求和的起始点要从1改成0。原式等于
将积分式带入，得
sigma求和符号可以放进积分符号里，不熟悉的朋友可以把求和符号展开验证一下。原式等于
接着，我们发现
由于前面积分的区间是1到0，所以这是一个收敛的无穷级等比数列，根据公式，它的和等于
带入原式
我们来总结一下我们干了什么。我们先是利用倍数关系转化了一些我们要求的对象，然后引入积分，最后用等比数列的求和公式把求和符号彻底赶走了。这么一个无穷级数就变成了一个纯的定积分。 4、 接着怎么求这个定积分呢？首先我们可以目测看看，基本上可以确定这个积分式不能用分部积分的公式来求，有兴趣的朋友可以试一试，我这里就不展示了。 那么怎么解呢？我们这里可以参考一下我们在前面的文章《这个东西和π有啥关系？》中用到的方法。我们首先可以想一想这两个部分能不能用同一种方式表达。有两个思路，一个是泰勒级数，一个是欧拉公式。大家可以暂停阅读想一想。 其实很显然，这两个函数是不太好用同一种方式表达的。一般能够转化成同一种形式的函数是指数函数和正余弦函数。 那么我们可以想一想，当时我们在面对1/x时是怎么做的？ 我们构造了一个积分。 是的，我们在这个问题中，也可以通过构造积分的方法解决。前面的1/1-x^2已经动过了，我们来动一动lnx。 首先我们知道
也就是，我们希望这个式子是一个东西的积分，而且方便起见，最好是0到无穷大的积分。我们通过观察可以发现当以下的式子取0和无穷大然后相减
其与以上式子相等。利用洛必达法则易证。 接着我们构造积分。 5、 首先将以上的式子求导。 那么问题来了：上式有两个变量x和y，那么到底改对谁求导呢？显然，留下来的是x，那么我们就应该对y求导。这里涉及一个概念：偏导。即在一个多变量方程中对其中一个变量求导。在偏导中，微分符号不再是dy/dx，而是
接着我们开始求导
这里强调一个运算小技巧，根据对数的运算法则，我们可以得到以下结论
这样求导就能比上来就用链式法则和除法法则要快很多，算出来结果为
将式子通分，得原式等于
化简，得原式等于
带入原式，得
再带入初始的式子，原式变为
接着我们会发现，分子分母上下两个相同的因式可以抵消，但是留有一个负号。根据积分的定义
我们终于可以将积分式上下的0和1对调了。所以我们可以将式子化简为
好了，到这里一切顺利。 6、 化简得原式等于
将式子通过积分拆开，得
上面的式子很明显，又是一个二重积分。这已经是我们出现二重积分的第三篇文章了，似乎也就是见怪不怪了。但是有一点我们却因为之前的情况没有涉及到，被我们忽略了。 我们可以发现前面两次二重积分两个积分的定义域是相同的，然而这一次却不一样，这一次二重积分中两个积分的定义域并不一样。 我们反思一下我们的操作。我们将定义域为0到正无穷的一项移到前面定义域为0到1的积分内。所以我们再乘上一个什么东西作为后续的调整。我们这里需乘上1/y对这里的常数y进行调整。 原式等于
将前面的积分求解，得到等于
将x等于0和1带入，等于
带入原式
化简得
我们已知
带入原式
易得积分结果为
将0和正无穷带入，得到原式等于
所以我们可以得到
还记得有一个关于这个式子和我们原来问题的数量关系吗？
将我们所得的值带入，得到
证毕。 7、 最新的这三篇文章都是有关二重积分的。从这三篇中，我们可以得出的启示大体就是可以通过数形结合、二维三维的转换解决问题，也可以在解复杂函数定积分的时候通过构造积分解决。 |
|
|
