|
1、 在开启正文之前，如果各位是和我一样的高中生，请做好心理准备。这是一篇从头干货到尾的文章，容易引起数学免疫者的不适，请坐稳扶好！ （提示：前一篇文章“所以，什么是极限”是这篇文章的基础，如果各位不能保证对极限有一个扎实的理解，请掉头去看前一篇文章） 2、 如果你身边有很多热爱数学的朋友，你不妨去问问他们最喜欢和最讨厌的公式各是哪个。关于最讨厌的数学公式，他们的答案可能千奇百怪；但是关于他们最喜欢哪个，你会发现他们的答案出奇的一致，即
为什么最喜欢这个？如果你对于数学是一个偏外行的人，那你大概会问这么一个问题，但是等你对数学有所了解之后，你就会发现这个公式的伟大之处：这个公式中包含了组成运算的最简单的两个符号：加号和等号，实数和虚数中的基本单位：1和i（根号-1），正负之间的界限：0和两个目前被人类发现最特殊的超越数：e和π。所以它被数学界的学者称为“上帝创造的公式”。 这篇文章在介绍欧拉公式的证明中总共会用到的知识点有：极限、复数、三角函数和弧度、泰勒级数、棣莫弗公式等等。这里介绍一下泰勒级数和棣莫弗公式。额外提醒：上一篇文章中说的7个当x趋近于0时的等式，在本篇文章看之前最好记牢，很有用！ 3、 我们在学习数学的过程中，始终讲究的是一个化繁为简、将不会的转化为会的。我们在作运算中也是这个道理，即将复杂的运算转化为简单的运算。 那什么是复杂运算？什么是简单运算呢？ 简单的运算就是人类最基础，用的最多的运算，即加减乘除。我们会发现，这样的四则运算带入到函数里面都属于幂函数，是高等数学中五种初等函数的一种。其他四种则分别为三角函数、反三角函数、指数函数、对数函数，这些都是函数对应的运算规则都不是我们掰掰手指算的过来的，所以我们称他们为复杂运算。 那么我们接下来要解决的问题就是，如何用简单运算的式子去表达或者趋近复杂运算呢。 泰勒级数就是为了解决这个问题应运而生的。你只需要知道一个函数在一个点a的值、导函数值、二次导函数值……你就可以知道该函数在任意点的值了，表达式如下：
如果将a定为0，则这个公式还有一个名字，叫麦克劳林公式，表达式如下：
如果把麦克劳林公式中的f(x)带入e^x或者sin x或者cos x。我们将得到如下的级数表达：
大家先记住即可，对于泰勒级数的证明会在后面几章给大家展示。 4、 我们都知道虚数的基本单位是i，即根号-1。复数就是实数和虚数的结合，一般表达为z，一个复数的标准形式为z=a+bi，其中a，b为实数，a称为实部，bi称为虚部。复数的模是虚数的一个实数表达，复数的模的求算公式是
就像直角三角形的斜边比直角边都大，z大于a，b。所以任意一个虚数都可以表示为
这里我们引入了sin和cos，因为实部和虚部的系数除以该复数的模结果都在-1到1之间。 关于虚数，有一个公式叫棣莫弗公式，其描述为：
这个和泰勒级数一样，记住就好，证明会在后面几章给大家展示。 5、 好了，背景知识介绍结束，欧拉公式证明方法一开始： 设一个虚数z=a+bi，我们想要知道的是e^z等于多少。 当然，e作为大名鼎鼎的自然常数，它的表达式是
我们将e的表达式带入e^z，得
这样一个复数的雏形就出来了，我们再将该复数转化成标准形式
我们知道任何一个复数都可以表示成r(cosx+isinx)的形式，对于这个复数，我们可以用前面说的棣莫弗公式表示出r和θ，即
接着我们会发现这个r上面还有一个指数x/2，看起来很烦，这里有一个好的处理办法，即将r取对数ln，也可以说设r=e^n，即
将两个平方展开并化简，得
根据
得
（忘记的同学可以看上一篇文章“什么是极限”） 最后得
所以，r=e^a。 接着，我们再来看θ
极限？反正切函数？你想到了什么？ 顺理成章，我们可以将arctan消掉，得
化简得
根据极限，得出θ=b。 这样，r和θ都出来了，我们可以用r和θ表示e^a+bi了，即
然后我们设a=0，b=π，再把式子加一。欧拉公式得证。 6、 讲到这里，如果你已经晕了的话，这里建议你从第五段倒回去看，好好消化一下…… 或者看下一种更简洁的方法： 聪明的朋友我相信已经发现了，既然是e的πi次方，是不是直接用泰勒级数展开就好了啊。是的！其实根本不用那么麻烦！ 将e^πi用泰勒级数展开，我们可以得到
我们将这个无穷级数分为两段，即将带i的和不带i的分为两类，效果如下：
和
这时候我们再看看泰勒级数的三个展开式
你会发现，上面那组带i的就是i倍的sin(πi)，上面那组不带i的就是cos(πi) 把两者相加就是e^πi了，即
欧拉公式得证。 |
|
|
