【原】【材料阅读】【费马点问题】

难度系数

★★★★★

  试题内容

1

山西中考试题

阅读以下材料,并按要求完成相应的任务:

背景:

平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马( Pierre de fermat)提出的一个著名的几何问题.

费马问题:给定不在一条直线上的三个点A,B,C,求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置.(即已知△ABC,求作一点P,使其到点A,B,C的距离之和最小,如图(1)).

费马点(费马问题所求的点):当△ABC的最大内角小于120°时,对△ABC三条边的张角都等于120°,即满足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°的点P(如图(2)所示)就是△ABC的费马点;当△ABC的最大内角大于或等于120°时,最大内角的顶点就是△ABC的费马点.

解决问题:

如图(3),△ABC的内角均小于120°,分别以AB,AC为边向△ABC外作等边三角形ABD和等边三角形ACE,连接BE,DC交于点P,连接AP.

求证:点P是△ABC的费马点.

证明:如图(4),过点A分别作AM⊥CD于点M,AN⊥BE于点N,设AB交CD于点O.

∵△ABD,△ACE都是等边三角形, 

∴AD=AB,AE=AC,∠DAB=∠CAE=60°,

∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC,

∴∠DAC=∠BAE,

∴△ADC≌△ABE,

∴CD=BE,∠ADC=∠ABE,(依据1)

S△ADC=S△ABE,

∴(1/2)CD·AM=(1/2)BE·AN,

∴AM=AN,

∴∠APM=∠APN.(依据2)

∵∠AOD=∠POB,∠ADC=∠ABE,

∴∠OPB=∠DAO=60°,

∴∠BPC=∠NPM=180°-∠OPB=180°-60°=120°,

∴∠APN=∠APM=(1/2)∠NPM=(1/2)×120°=60°,

∴∠APB=60°+60°=120°,∠APC=60°+60°=120°,

∴∠APB=∠BPC=∠APC=120°,

∴点P是△ABC的费马点.

任务:

(1)上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指:

依据1:          ;

依据2:          ;

(2)在图(3)中,求证:PA+PB+PC=BE=DC.

(3)如图(5),在△MNG中,MN=6,∠M=60°,MG=4.点O是△MNG内一点,

则点O到△MNG三个顶点的距离之和的最小值是     .

2

解法分析

第一问

费马点的证明

依据1:全等三角形对应角相等,对应边相等；

依据2:在角的内部,到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.

第二问 

最短距离的证明

如图,在线段PD上取一点T,使PT=PA,连接AT,

∵∠APT=60°,PT=PA,

∴△APT是等边三角形,

∴∠PAT=60°,AT=AP,

∵∠DAB=∠TAP=60°,

∴∠DAB-∠TAB=∠TAP-∠TAB,

即∠DAT=∠BAP,

又∵AD=AB,AT=AP,

∴△DAT≅△BAP,

∴PB=DT,

∴PA+PB+PC=PT+DT+PC=CD=BE.