【原】【2021四川广安26】【函数模型求最值】【一线三直角】【特殊三角形】

四川卷

2021中考数学

2021四川广安26

如图，在平面直角坐标系中，抛物线＝﹣++的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为(3,0)， B点坐标为(-1,0)，连接AC、BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发， 在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为秒．
(1)求、的值．
(2)在P、Q运动的过程中，当为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？
(3)在线段AC上方的抛物线上是否存在点M，使△MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

解法分析(1)

将点A、点B的坐标分别代入抛物线解析式中，解方程组得：=2，=3.

解法分析(2)

根据实际问题(求面积最值)建立数学模型(函数)，通过求函数的最值解决实际问题.

准备工作

1.抛物线的解析式：=-+2+3；
2.点A的坐标(3,0)，点B的坐标(-1,0)，点C的坐标(0,3)，
易证△AOC为等腰直角三角形，
PD=AD=，BQ=；

建立函数模型

3.四边形BCPQ的面积
=三角形ABC的面积-三角形AQP的面积
=-
=6-
=-2+6(0≤≤3)；

求最值

4.当=-=2时，四边形BCPQ的面积取得最小值， 最小值为4.

解法分析(3)

直角三角形存在性问题一般可通过建立一线三直角式相似(全等)来解决.

以直角顶点为中心建立一线三直角式全等

△PQD≅△MPE，
ME=PD=，PE=QD；

设参数坐标，列方程求参数值

点P的坐标(3-,)，点Q的坐标为(-1+,0)，
点M的横坐标为3-2，
由抛物线解析式求得：
点M的纵坐标为-4+8，
由PE=QD得：
(-4+8)-=(3-)-(-1+)，
解得：t=，t=；

点M在线段AC上方的含义

0<3-2<3，即0<<，
所以舍去t，
所以点M的坐标为(，).

END

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