角平分线性质定理:
角平分线上的点到角两边的距离相等.
三角形内角平分线定理
三角形的角平分线分对边两段之比等于夹这个角的两边对应之比.
已知:AD是△ABC的角平分线，
求证:=.
面积法
证明:作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，作AG⊥BC于点G，
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∴==，
∵==，
∴=.
知二推一法
(角平分线+等腰三角形⇒平行线)
证明:延长BA至点E，使AE=AC，连接CE，
∴∠E=∠1，
∴∠BAC=∠E+∠1=2∠1，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAC=2∠2，
∴∠1=∠2，
∴AD∥EC，
∴==，
∴=.
同类作法(右图)
延长CA至点E，使AE=AB，连接BE.
知二推一法
(角平分线+平行线⇒等腰三角形)
过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，
∴∠E=∠1，=，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠E，
∴AC=EC，
∴==，
∴=.
同类作法(右图)
过点B作BE∥AC，交AD的延长线于点E.
知二推一法
(角平分线+平行线⇒等腰三角形)
过点C作CE∥AD，交BA的延长线于点E，
∴∠E=∠1，∠2=∠3，=，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠2，
∴∠E=∠3，
∴AC=AE，
∴==，
∴=.
同类作法(右图)
过点B作BE∥AD，交CA的延长线于点E.
三角形内角平分线定理的逆定理
已知:在△ABC中，点D是边BC上一点，=，
求证:AD是△ABC的角平分线.
该命题为真命题，逆向思考进行证明即可.
三角形外角平分线定理
已知:AD是△ABC的外角平分线，点D在边BC的延长线上，
求证:=.
该命题为真命题，可参考上文进行证明.
