【原】【2021浙江湖州9】【2021浙江嘉兴16】【轴对称背景下的动点问题】

浙江卷

2021中考数学

2021浙江湖州9

如图，已知在矩形ABCD中，AB=1，BC=，点P是AD边上的一个动点，连结BP，点C关于直线BP的对称点为C₁，当点P运动时，点C₁也随之运动．若点P从点A运动到点D，则线段CC₁扫过的区域的面积是(   )
A．π   B．π+   C．   D．2π

准备工作

根据矩形ABCD，AB=1，BC=，
可得:∠DBC=30°.

画示意图

      轨迹问题的解答通常需要动态图形的支撑，虽然学生在考试时没有计算机的辅助，但是我们可以模拟几何画板的工作原理，尝试画出几个不同瞬时状态下的示意图，在直观感知的辅助下，寻找“变中不变”，猜想并确定动点的运动轨迹.

      虽然线段CC₁扫过的区域并不是扇形，但点C₁的运动路径是圆弧，只要找到圆心，问题便可迎刃而解.观察图形，根据轴对称的性质，在点C₁的运动过程中，始终保持BC₁=BC=【变中不变】，因此点C₁在以点B为圆心，为半径的圆上(部分)运动.

对结束点的分析

根据轴对称的性质可得:
当点P与点D重合时，
∠CBC_1结束=2∠DBC=60°.

对开始点的分析

当点P与点A重合时，
∠CBC_1开始=2∠ABC=180°，
∴∠C_1开始BC_1结束=120°.

计算面积

扇形的面积==π，
等边三角形的面积==，
∴线段CC₁扫过的区域的面积是π+.
此题选B.

动态演示

2021浙江嘉兴16

如图，在△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=45°，AB=2，点P从点A出发沿AB方向运动，到达点B时停止运动，连结CP，点A关于直线CP的对称点为A′，连结A′C，A′P．在运动过程中，点A′到直线AB距离的最大值是     ；点P到达点B时，线段A′P扫过的面积为     ．

巩固练习

END

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思维无限

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