试题内容
如图,点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点,且∠MPN与∠AOB互补,若∠MPN在绕点P旋转的过程中,
其两边分别与OA、OB相交于M、N两点,则以下结论:
(1)PM=PN恒成立;
(2)OM+ON的值不变;
(3)四边形PMON的面积不变;
(4)MN的长不变,
其中正确的个数为 .
解法分析
已知条件的初步加工
点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点
⇒∠AOP=∠BOP，点P到OA、OB的距离相等
∠MPN与∠AOB互补
⇒∠OMP与∠ONP互补
“PM=PN恒成立”说法正确
证法1：角平分线的性质
作PC⊥OA于点C，作PD⊥OB于点D，
1.根据同角的补角相等证明：∠1=∠2，
2.根据AAS证明：△MCP≅△NDP，进而证明：PM=PN.
证法2：角平分线→轴对称
在射线OB上截取OQ=OM，连接PQ，
1.根据SAS证明：△MOP≅△QOP，进而证明：PM=PQ，∠1=∠3，
2.根据同角的补角相等证明：∠1=∠2，进而证明：∠2=∠3，
3.根据等角对等边证明：PN=PQ，进而证明：PM=PN.
“OM+ON的值不变”说法正确
1.根据△MCP≅△NDP证明：MC=ND，
2.OM+ON
=OC+MC+ON
=OC+ND+ON
=OC+OD(定值).
“四边形PMON的面积不变”说法正确
1.根据△MCP≅△NDP证明：S=S，
2.S
=S+S
=S+S
=S(定值).
“MN的长不变”说法错误
1.根据PM=PN，∠MPN=180°-∠AOB(定值)可知：
△PMN是一个形状不变的等腰三角形，
2.由于PM的长度会发生变化，因此△PMN的大小会改变，
即MN的长度不是定值.
隐藏的半角模型
∠CPO=∠MPN，OC=CM+ON.
