1试题内容
在平面直角坐标系中，已知抛物线＝+经过A(4，0)，B(1，4)两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；
(3)如图，OP交AB于点C，PD∥BO交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．判断+是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
2解法分析(1)
将A(4，0)，B(1，4)代入抛物线解析式，
＝+，
解得：=-，b=，
∴抛物线的解析式为：＝-+．
3解法分析(2)
方法1：铅垂线法求面积
1.两动点参数坐标
过点P作轴的垂线，交直线AB于点E，
根据待定系数法求得：
直线AB的解析式为：＝-+，
设点P的坐标为：(,-+)，
则点E的坐标为：(,-+).
2.两定点坐标
点A的坐标为(4,0)，点B的坐标为(1,4).
3.等量关系列方程
=×4×4＝8；
=×水平宽×铅锤高
=×(-)×(-)
=-2+10-8；
∴-2+10-8=4，
解得：=2，=3
∴点P的坐标为：(2,)或(3,4).
方法2：等积变换
取点M(2,0)、点N(6,0)，过点M作AB的平行线，过点N作AB的平行线，当点P在直线或直线上时，△PAB的面积恒为△OAB面积的一半.
设直线的解析式为：＝-+，
将点N(6,0)代入，解得：=8，
∴直线的解析式为：＝-+8，
联立抛物线解析式和直线的解析式，
解得：=2，=3
∴点P的坐标为：(2,)或(3,4).
4解法分析(3)
面积之比→底边之比
+
=+；
相似三角形1
∵PD∥BO，
∴△DCP∼△BCO，
∴==，
∴+
=.
相似三角形2
过点P作轴的垂线，交直线AB于点E，
延长AB交轴与点F，则点F的坐标为：(0,)
根据“两组对应角相等的两个三角形相似”，
证明：△PED∼△OFB，
∴=
=-+-1，
∴+
=-+-2
=-+，
∴+的最大值为．
